【数学】山西省晋城市2026届高三下学期高考适应性模拟试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】山西省晋城市2026届高三下学期高考适应性模拟试题（学生版+解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
，
则．
2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为，
所以，
则，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限．
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为向量，且，即，
所以，解得．
故.
所以.
4. 某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，

则圆台的体积为，解得，
所以母线的长是.
5. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线过定点，
圆的标准方程为，则圆心为，半径为．
当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为，
所以直线的斜率为，故，解得．
6. 若，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以①
又因为，所以②
①+②得
所以．
又因为，所以，即．
把代入中，得.
则，即．
把代入中，得.
则，即．
所以．
7. 已知函数的极大值点为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，该函数的定义域为，，
因为，即，
即，即，
所以，
又因为，所以（*），
①当时，，
当时，；当时，.
所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意；
②若，由可得，由可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为，
则函数的极大值点为，即得，
则由（*）得，
，
因为，所以；
③当时，由可得，由可得或，
所以函数的减区间为、，增区间为，
所以函数的极大值点为，同②可得.
综上所述，.
8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线
绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是的一个顶点
C. 的方程为D.
【答案】C
【解析】对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴，
且直线与轴夹角为，
由题意，是双曲线绕原点旋转得到，
则双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，
即双曲线的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得，
所以双曲线的离心率，故A错误．
对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线和，
且直线与轴夹角为，
所以双曲线的实轴方程为，
联立，解得或，
故双曲线的两个顶点为，故B错误；
对于D，双曲线的实轴长为，
即，故D错误；
对于C，由，得，
故双曲线的方程为，故C正确．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确；
对B：因为，且，
所以，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误．
故选：AC.
10. 在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（ ）
A.
B. 点到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，
则，，A正确；
B选项，，，，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
点到平面的距离为，B正确；
C选项，由B知，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的夹角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为，C错误；
D选项，分别取的中点，连接，，则，
因为，，所以四边形为平行四边形，故，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，所以平面平面，
当动点平面时，平面，
则动点的轨迹所形成区域为及其内部，
为等边三角形，边长为，故面积是，D正确.
11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则周长的最小值为11
C. 若A，F，B三点共线，且，则
D. 若直线AB过，且，则
【答案】BD
【解析】A选项，抛物线的焦点为，即，
解得，故
，故点纵坐标为3，中，令得，
不妨设，则，，
故，A错误；
B选项，若，则，
过点作⊥准线于点，则，则，
故当三点共线时，取得最小值，
过点作⊥准线于点，故的最小值为，
则周长的最小值为，B正确；
C选项，若A，F，B三点共线，显然直线的斜率存在，
设直线方程为，联立得，
，，
故，
，
点到直线的距离为，
故，故，
解得，故，，
则，C错误；
D选项，若直线AB过，显然斜率存在，设为，
联立与得，
则，解得，，
因为，故，解得或，
当时，，显然此时重合，不过点，不满足要求，
当时，，此时，满足要求，则，，
所以，所以，
，，
故，
所以，
又，，
，
故，，
则，D正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为__________．
【答案】8
【解析】的展开式中，
含的项为，
所以的展开式中的系数为8．
13. 已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________．
【答案】72
【解析】因为是等比数列，设其公比为，
依题意可得，
因，两式相除，得，
整理得，解得，
所以.
14. 当时，，则实数的最小值为__________．
【答案】
【解析】，因为，故，也即，
对，，故其在单调递增，
且当时，；当趋近于时，趋近于；
令，则；原不等式等价于，又，
故，令，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？
附：．
解：（1）由各组频率之和为，得，解得，
则属于“优等生”的有 人.
（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．
属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.
不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．
所以得到列联表如下：
零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．
根据表中数据，计算得．
根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
16. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求函数在上的零点个数．
解：（1）当时，，则，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意可得，，
令可得，
令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，
，
令，其中，
则，
令，则，
由可得，由可得，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，
所以，所以，即恒成立，
所以函数在上单调递减，且，
故当时，，所以，则函数在上单调递减，
当时，；当时，.
所以直线与函数的图象有且只有一个公共点，
故函数在上只有一个零点.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为．
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为2，判断的形状．
解：（1）由余弦定理，得①，
由三角形的面积公式，得②．
②÷①，得，即．
由，得．
（2）由题意，得外接圆的直径为4，
则由正弦定理，得，
所以．
因为的面积为，
所以，化简得．③
因为，所以，
化简得．④
因为，
所以由③④，得，
所以．⑤
由③⑤解得，又，所以，故必有，
所以，所以是等边三角形.
18. 在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角的平面角的余弦值为．
①求线段的长；
②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当
时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：因为，且是线段AD的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以；
（2）解：①又底面是直角梯形，过作 ，
由平面，平面，
故，
故两两垂直，
故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、，
设，则，
则，
设平面的一个法向量，
因为，可得，
令，则，所以，
，
设平面的一个法向量，
可得，
令，则，所以，
设的平面角为，
则，
所以，所以；
②因为，且为线段的中点，所以，
点在线段上，因为，
若平面，且平面的一个法向量，
所以，
解得.
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则.
①证明：直线恒过定点；
②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
（1）解：由题意得，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为；
（2）①证明：因直线的斜率存在，可设其方程为，
依题意，，否则不满足点在轴上方，点在轴下方，
由点不在直线上，即，
将代入，消去得（*），
，即，
设，则，
则，，
，
因为，所以，
则，即，解得，
故直线的方程为，恒过点；
②解：由①得，由可知点为的重心，
连接，则在线段上，且，其中，
因为，所以，，
而，，
故，
因为，则,，，
故
，
其中，，
故，
因，故（*）可化为，恒成立，
解得，
若，则，
则，
，
因为，所以，
若，则，
则，
，
因为，所以，
综上，的取值范围是.
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计