山西晋城市2025_2026学年高考适应性模拟数学试题 [含答案]

这是一份山西晋城市2025_2026学年高考适应性模拟数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
5. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的极大值点为，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是的一个顶点
C. 的方程为D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（ ）
A.
B. 点到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是
11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则周长的最小值为11
C. 若A，F，B三点共线，且，则
D. 若直线AB过，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为__________．
13. 已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________．
14. 当时，，则实数的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？
附：．
16. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求函数在上的零点个数．
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为．
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为2，判断的形状．
18. 在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角的平面角的余弦值为．
①求线段的长；
②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则．
①证明：直线恒过定点；
②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
数学
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由，，
则．
2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以，
则，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限．
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为向量，且，即，
所以，解得．
故.
所以.
4. 某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可.
解答过程：如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，

则圆台的体积为，解得，
所以母线的长是.
5. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系.
解答过程：直线过定点，
圆的标准方程为，则圆心为，半径为．
当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为，
所以直线的斜率为，故，解得．
6. 若，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先通过平方两个已知等式并相加，利用三角恒等式消去和，得到，结合已知范围确定，即；再将此关系代入原方程之一，化简后无需求出的具体值，直接得到和的值，最后用和角公式计算，得出结果.
解答过程：因为，所以①
又因为，所以②
①+②得
所以．
又因为，所以，即．
把代入中，得.
则，即．
把代入中，得.
则，即．
所以．
7. 已知函数的极大值点为，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，可得出，然后由化简得出，将代入化简可得答案.
解答过程：因为，该函数的定义域为，，
因为，即，
即，即，
所以，
又因为，所以（*），
①当时，，
当时，；当时，.
所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意；
②若，由可得，由可得或，
此时函数的增区间为、，减区间为，
则函数的极大值点为，即得，
则由（*）得，
，
因为，所以；
③当时，由可得，由可得或，
所以函数的减区间为、，增区间为，
所以函数的极大值点为，同②可得.
综上所述，.
8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是的一个顶点
C. 的方程为D.
答案：C
解析：
思路：对于A，根据题设定义可得的渐近线为直线与轴，且直线与轴夹角为，进而得到双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，可得双曲线的一条渐近线倾斜角为，即，进而求解离心率即可；对于B，易得双曲线的实轴方程为，进而求解判断即可；对于D，根据两个顶点坐标求出实轴长，即可判断；对于C，根据的关系求出，即可判断.
解答过程：对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴，
且直线与轴夹角为，
由题意，是双曲线绕原点旋转得到，
则双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，
即双曲线的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得，
所以双曲线的离心率，故A错误．
对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线和，
且直线与轴夹角为，
所以双曲线的实轴方程为，
联立，解得或，
故双曲线的两个顶点为，故B错误；
对于D，双曲线的实轴长为，
即，故D错误；
对于C，由，得，
故双曲线的方程为，故C正确．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
思路：根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择.
解答过程：对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确；
对B：因为，且，
所以，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误．
故选：AC.
10. 在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（ ）
A.
B. 点到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是
答案：ABD
解析：
思路：ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积
解答过程：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，
则，，A正确；
B选项，，，，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
点到平面的距离为，B正确；
C选项，由B知，平面的法向量为，
设直线与平面所成角的夹角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为，C错误；
D选项，分别取的中点，连接，，
则，
因为，，所以四边形为平行四边形，故，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，所以平面平面，
当动点平面时，平面，
则动点的轨迹所形成区域为及其内部，
为等边三角形，边长为，故面积是，D正确.

11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则周长的最小值为11
C. 若A，F，B三点共线，且，则
D. 若直线AB过，且，则
答案：BD
解析：
思路：A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案.
解答过程：A选项，抛物线的焦点为，即，
解得，故
，故点纵坐标为3，中，令得，
不妨设，则，，
故，A错误；
B选项，若，则，
过点作⊥准线于点，则，则，
故当三点共线时，取得最小值，
过点作⊥准线于点，故的最小值为，
则周长的最小值为，B正确；
C选项，若A，F，B三点共线，显然直线的斜率存在，
设直线方程为，联立得，
，，
故，
，
点到直线的距离为，
故，故，
解得，故，，
则，C错误；
D选项，若直线AB过，显然斜率存在，设为，
联立与得，
则，解得，，
因为，故，解得或，
当时，，显然此时重合，不过点，不满足要求，
当时，，此时，满足要求，则，，
所以，所以，
，，
故，
所以，
又，，
，
故，，
则，D正确
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数为__________．
答案：8
解析：
思路：先展开化简，分别应用展开式通项计算求出系数.
解答过程：的展开式中，
含的项为，
所以的展开式中的系数为8．
13. 已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________．
答案：72
解析：
思路：根据题设条件求出公比，再由等比数列通项公式计算求解.
解答过程：因为是等比数列，设其公比为，
依题意可得，
因，两式相除，得，整理得，解得，
所以.
14. 当时，，则实数的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可.
解答过程：，因为，故，也即，
对，，故其在单调递增，
且当时，；当趋近于时，趋近于；
令，则；原不等式等价于，又，
故，令，则，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．

（1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数；
（2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？
附：．
答案：（1），人
（2）表格如下：
不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
解析：
（1）由各组频率之和为，得，解得，
则属于“优等生”的有 人.
（2）由题意，样本中男生有人，则女生有人．
属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人.
不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人．
所以得到列联表如下：
零假设：这次成绩是否优秀与性别无关．
根据表中数据，计算得．
根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关．
16. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）令，求函数在上的零点个数．
答案：（1）
（2）个
解析：
思路：（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论.
（1）当时，，则，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意可得，，
令可得，
令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，
，
令，其中，
则，
令，则，
由可得，由可得，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，
所以，所以，即恒成立，
所以函数在上单调递减，且，
故当时，，所以，则函数在上单调递减，
当时，；当时，.
所以直线与函数的图象有且只有一个公共点，
故函数在上只有一个零点.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为．
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为2，判断的形状．
答案：（1）
（2）是等边三角形
解析：
思路：（1）利用已知的余弦定理形式 和面积公式，通过两式相除消去 ，直接求出 ，进而确定 .
（2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于 和 的方程组，解出 ，从而判断三角形为等边三角形.
（1）由余弦定理，得①，
由三角形的面积公式，得②．
②÷①，得，即．
由，得．
（2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得，
所以．
因为的面积为，
所以，化简得．③
因为，所以，
化简得．④
因为，所以由③④，得，
所以．⑤
由③⑤解得，又，
所以，故必有，
所以，所以是等边三角形.
18. 在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角的平面角的余弦值为．
①求线段的长；
②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明见解析；
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直的定义得出线线垂直；
（2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数；②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解.
（1）因为，且是线段AD的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以；
（2）①又底面是直角梯形，过作 ，
由平面，平面，
故，
故两两垂直，
故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、，
设，则，
则，
设平面的一个法向量，
因为，可得，
令，则，所以，
，
设平面的一个法向量，
可得，
令，则，所以，
设的平面角为，
则，
所以，所以；
②因为，且为线段的中点，所以，
点在线段上，因为，
若平面，且平面的一个法向量，
所以，
解得；
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则．
①证明：直线恒过定点；
②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
答案：（1）；
（2）①过定点，证明过程见解析；②
解析：
思路：（1）根据离心率和所过的点，结合得到方程组，求出椭圆方程；
（2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，根据得到，故恒过点；
②根据比例关系得到各个三角形的面积关系，变形得到关于M，N两点坐标的关系，分两种情况，求出关于的关系式，得到取值范围.
（1）由题意得，，又，
解得，所以椭圆的标准方程为；
（2）①因直线的斜率存在，可设其方程为，
依题意，，否则不满足点在轴上方，点在轴下方，
由点不在直线上，即，
将代入，消去得（*），
，即，
设，则，
则，，
，
因为，所以，
则，即，解得，
故直线的方程为，恒过点；
②由①得，由可知点为的重心，
连接，则在线段上，且，其中，
因为，所以，，
而，，
故，
因为，则,，，
故
，
其中，，
故，
因，故（*）可化为，恒成立，
解得，
若，则，
则，
，
因为，所以，
若，则，
则，
，
因为，所以，
综上，的取值范围是.
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计
属于“优等生”
不属于“优等生”
合计
男生
女生
合计