山西省运城市2026届高三下学期高考考前适应性测试 数学试卷（含解析）

这是一份山西省运城市2026届高三下学期高考考前适应性测试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．6D．
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”．甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（ ）
A．200种B．225种C．300种D．400种
4．若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．设正数，分别是复数的实部、虚部，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
7．已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若对恒成立，则当取得最小值时，（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题
9．若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
10．已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（ ）
A．中位数为3且平均数为5B．平均数为4且众数为4
C．平均数为4且方差为3.2D．中位数为5且方差不小于7.2
11．在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的最大值是最小值的2倍
C．四面体外接球的体积为
D．当取得最小值时，点的坐标为
三、填空题
12．若为偶函数，则________．
13．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________.
14．在中，，，，为边上一点，若与的内切圆的半径相等，设，则________（用表示）.
四、解答题
15．已知等差数列的公差为．
(1)若，求数列的前项和；
(2)若数列为递减数列，求的取值范围．
16．将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
17．小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响.
(1)求小张周日打羽毛球的概率；
(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率；
(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望．
18．（1）若，证明：．
（2）若，，证明：．
（3）若，，，求的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，点，，且向量与共线．
(1)求的方程．
(2)已知动直线与交于两个不同的点．
（ⅰ）若过点且斜率小于0，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长大于．
（ⅱ）若不经过点，且平分，求的外接圆圆心的轨迹方程．
参考答案
1．D
【详解】双曲线的焦距为．
2．B
【详解】由，解得或，则，
由，得，，解得，则，
所以．
3．C
【详解】依题意甲选了运城盐湖，只需再从剩余的6个景区中选2个，选法数为：；
乙未选鹳雀楼，则乙从剩余的6个景区中选3个，选法数为：，
可得甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有种．
4．B
【详解】，，
令，得，
所以曲线的对称中心的坐标为．
5．C
【详解】由，得函数的定义域为，
所以，
所以为增函数，因此，
所以函数的值域为，故C正确.
6．A
【详解】依题意得，
因为，所以，
所以，即，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
7．A
【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以．
由椭圆的定义知，所以，
则，
则的最大值为，所以，
又，所以，此时满足，
所以的离心率．
8．D
【详解】由，得．
设函数，则，则在上单调递增．
因为，，
所以存在唯一的零点，且．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，当时，．
作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为，
由图可知，的最小值为1，此时．
9．BD
【详解】依题意得，
则，
则，或，
则，或，则的值可以为、．
10．ABD
【详解】对A：若这组数据为2，3，3，8，9，则其中位数为3且平均数为5，故A正确；
对B：若这组数据为1，3，4，4，8，则其平均数为4且众数为4，B正确；
对C：若这组数据的平均数为4，且至少有1个8，
则要使得方差最小，这五个数为3，3，3，3，8，
此时这组数据的方差，故C错误；
对D：若这组数据为2，2，5，8，8，则其中位数为5，
平均数为，方差，故D正确．
11．ABD
【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接，
则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点．
因为，所以，所以，
则，则，A正确．
设四面体外接球的球心为，则在上，设，
则，解得，所以四面体外接球的半径为3，
四面体外接球的体积为，C错误．
易得四面体内切球的半径，内切球的球心为，
则的最大值为，最小值为，B正确．
因为平面，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），．
当取得最小值时，，即，
得，D正确．
12．3
【详解】因为为偶函数，故，
即，
即，
所以，即，所以，则．
13．
【详解】设该三棱台为正三棱台，且，，
设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则．
在平面中，过作，垂足为，则平面，
且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为．
因为，，
所以，
故．
14．
【详解】由余弦定理得，则，
设点到的距离为，因为与的内切圆的半径相等，
所以，则，
整理得，
则．
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以
；
（2）设，则，
当为奇数时，，
因为数列为递减数列，所以，得，
当为偶数时，，
因为数列为递减数列，所以，得；
故的取值范围是．
16．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）
取的中点，连接，．
易证，且，
又为的中点，所以，且，
则四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
设平面的法向量为，则
令，得．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
17．(1)0.28
(2)0.352
(3)1.2．
【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件，
根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为，
由全概率公式可得.
（2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为，
根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为，
，
，
，
故.
（3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为，
小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为，
可能的取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
则．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】（1）证明：设，则，
因为，所以恒成立，所以是增函数．
，
又，所以，因为是增函数，所以．
（2）证明：因为是增函数，所以当时，．
设，，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以．
由题意得，
即，则．
（3）解：，
由，得，因为是增函数，所以．
，
令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
令，设，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
由题意得，即，所以的取值范围为．
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）解：（1）由题意知，
则，因为向量与共线，所以，
解得，故的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设的方程为，代入，
得，．
设，，则，，
则．
设以为直径的圆为圆，且圆心的坐标为，则，
则圆心到轴的距离，
所以圆被轴截得的弦长为，
因为，所以，则
，即以为直径的圆被轴截得的弦长大于4．
（ⅱ）因为平分，所以直线与关于直线对称，
又直线的方程为，且点关于直线对称的点为，
所以，即．
将，代入，得，因为，所以．
当直线的斜率不存在时，，此时，重合，这显然不符合题意，
则直线的斜率存在．设的方程为，代入，
得，则，，解得．
由，得或，由平分，，都在上，得均位于第一象限，则．
设外接圆的圆心为，线段的中点坐标为，则，
所以线段的垂直平分线的方程为，
整理得①．
同理可得线段的垂直平分线的方程为②．
由，及①②可得．
因为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
将代入上式得．
因为，所以，故的外接圆圆心的轨迹方程为．