【期末冲刺】第23章 四边形章节复习 优等生讲义(新考题速达)2026年沪教版数学八年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 多边形内角和公式 n−2×180°、外角和 360°、对角线公式 nn−32，并能灵活运用。
理解 平行四边形的性质与判定，能结合三角形全等、中位线解决几何问题。
熟练运用 矩形、菱形、正方形的特殊性质（对角线、对称性、面积公式），掌握判定定理。
掌握 三角形中位线定理和重心性质（重心将中线分成 2:1），并能进行相关计算与证明。
体会 分类讨论、数形结合、转化思想在四边形综合题中的应用。
✨ 核心：多边形内角与外角 · 平行四边形判定 · 特殊平行四边形性质 · 中位线与重心。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 多边形
内角和： n−2×180°（n≥3）。
外角和： 任意多边形外角和均为 360°。
对角线： 从一个顶点可作 n−3 条对角线；总对角线数 nn−32。
正多边形： 各边相等、各角相等；每个内角 n−2×180°n，每个外角 360n。
截角问题： 四边形去掉一个角后可能变成三角形、四边形或五边形，取决于截线位置。
☆ 平行四边形
性质： 对边平行且相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；中心对称图形。
判定： ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④两组对角分别相等；⑤对角线互相平分。
面积： S=底×高。
三角形中位线在平行四边形中的应用： 常与对角线交点结合，构造全等三角形。
☆ 矩形、菱形与正方形
矩形： 四个角都是直角；对角线相等且互相平分；既是轴对称又是中心对称。判定：①平行四边形+一个直角；②对角线相等；③三个角是直角。
菱形： 四条边相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。面积 S=d1d22。判定：①平行四边形+一组邻边相等；②对角线互相垂直；③四边相等。
正方形： 具有矩形和菱形的所有性质；对角线垂直、相等且平分。判定：矩形+一组邻边相等 或 菱形+一个直角。
常见模型： 矩形中的翻折、菱形中的等边三角形、正方形中的旋转全等。
☆ 三角形中位线与重心
中位线定理： 连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。
重心： 三角形三条中线的交点。重心将每条中线分成 2:1（重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍）。
应用： 在四边形中常连接对角线中点构造中位线；或利用重心性质求线段长、面积比。
☆ 知识总结表
核心考点 ·4类题型精讲
【考点1】多边形基础（对应第1-9题）
※ 方法总结
熟记内角和公式、外角和 360°，注意正多边形内外角度数关系。
对角线公式：从 n 边形一个顶点可引 (n-3) 条对角线，总对角线数为 n(n-3)/2。
截角问题：分类讨论，截线经过不同顶点时，新多边形边数可能增加或不变。
“完美五边形”问题利用外角和直接列方程求角度和。
滚动问题：求点经过路程，可分解为圆弧长之和，利用旋转角与半径计算。
1．（2026春•徐汇区校级月考）以下说法中，正确的是（ ）
A．六边形的内角和是900°
B．七边形有10条对角线
C．外角和是360°的多边形是八边形
D．十边形的外角和等于五边形的外角和
2．（2026春•金山区校级月考）如图，四边形ABCD去掉一个∠D后，剩下的新图形不可能是（ ）边形．
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
3．（2026春•杨浦区校级月考）下列语句正确的有（ ）个．（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形）
①正多边形中，边越多，内角越大；
②正多边形中，边越多，外角越大；
③正多边形中，边越多，边长越小；
④正多边形中，边越多，周长越大．
A．1B．2C．3D．4
4．（2026春•静安区校级月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠1+∠5＝120°，则∠2+∠3+∠4等于（ ）
A．145°B．180°C．240°D．325°
5．（2026春•黄浦区期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形ABC（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于60°），三角形ABC沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形ABC第一次回到初始位置时，点A经过的路程为 厘米．（π取3.14）
6．（2015春•青浦区期末）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，那么这个多边形是 边形．
7．（2026春•普陀区期中）已知某个多边形的内角和与外角和的和恰好等于一个十二边形的内角和，求这个多边形的边数．
8．（2026•青浦区二模）如果过n边形的一个顶点可作5条对角线，那么这个n边形的内角和是 ．
9．（2026春•静安区校级月考）在四边形ABCD中，∠A＝∠B，如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”，若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为 °；
（2）如图②．在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD的“映角点”，延长CP交边AB于点E，求证：∠ADP＝∠CEB．
【考点2】平行四边形（对应第10-25题）
※ 方法总结
判定平行四边形：优先考虑对边平行且相等、对角线互相平分。
添加条件判平行四边形：注意“一组对边平行”加上“对角相等”也能推出平行四边形。
平行四边形对角线性质：对角线互相平分，结合三角形三边关系可求对角线取值范围。
全等三角形模型：过对角线交点的直线与对边相交，得到的三角形全等（AAS 或 ASA），进而解决面积相等问题。
与中点、垂直平分线结合：利用线段相等关系求周长或线段长（如△CDE 周长 = AD+CD）。
新定义问题（“映角点”）：依据平行线性质和外角关系推导角度等。
10．（2026春•上海校级期中）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加以下条件不能证明它是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CDB．BC∥AD
C．∠A＝∠CD．∠A+∠D＝180°
11．（2026春•虹口区期中）如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是（ ）
A．12和8B．13和6C．28和6D．20和6
12．（2026春•青浦区校级月考）如图，EF经过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S四边形ABFE＝S△ABC．其中正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
13．（2026春•杨浦区校级月考）已知四边形ABCD，从下列条件中：①∠A＝∠C，②∠B＝∠D，③AB＝CD，④BC＝AD，任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
14．（2026春•浦东新区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，在对角线BD上取两点E，F，连结AE，CE，AF，CF．下列条件：
①BE＝DF；
②∠BAE＝∠DCF；
③AE⊥BD，CF⊥BD；
④AE＝CF；
⑤AE∥CF；
能得到四边形AECF是平行四边形的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
15．（2026春•浦东新区校级期中）如图，已知▱ABCD的周长为12，AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接CE，则△CDE的周长是 ．
16．（2026春•上海校级期中）在四边形ABCD中，两条对角线交于点O，已知BO＝DO，AC＝6cm，则当AO＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
17．（2026春•静安区校级月考）如图，在▱ABCD中，若∠ACB＝54°，∠D＝40°，AE＝AC，则∠ECD＝ ．
18．（2026春•松江区期中）平行四边形ABCD中，AD=43，BD＝4，AB边上的高是23，则平行四边形ABCD的周长是 ．
19．（2026•闵行区校级开学）平行四边形ABCD中，AB＝26cm，过对角线交点O作OE⊥AD，垂足为E，AE＝24cm，DE＝14cm，则S平行四边形ABCD＝ cm2．
20．（2025春•徐汇区校级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，如果▱ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，那么BC的长为 ．
21．（2026春•闵行区期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E是边AB上一点，连接CE，作FG垂直平分CE，分别交边AD、BC、CE于点G、F、H．
（1）如图1：若AB＝4，BC＝6，当点F恰好是边BC中点时，求AE的长；
（2）若AB＝BC＝6，当AF⊥BC时，求AE的长．
22．（2026春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若平行四边形ABCD的周长是24，OE＝2，求四边形ABFE的周长．
23．（2025春•上海校级期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
24．（2026春•徐汇区校级期中）【平行六边形】如图①，在凸六边形中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图②，已知平行六边形满足OP＝PQ＝QR＝RS．求证：平行六边形OPQRST是菱六边形．
25．（2026春•静安区校级月考）【阅读材料】
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
【考点3】矩形、菱形与正方形（对应第26-40题）
※ 方法总结
矩形对角线相等且互相平分；利用勾股定理求边长、对角线。
菱形对角线互相垂直平分且平分内角，面积等于对角线乘积一半；菱形中常出现等边三角形（如较短对角线＝边长时）。
正方形具有最完整的对称性，常结合旋转、全等三角形证明线段相等或垂直。
矩形中的“垂直平分线”问题：作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求边长。
阴影面积问题：利用矩形面积分割、等积变形（如矩形内过对角线上点的平行线分得面积相等）。
正方形中线段最值：垂线段最短，利用勾股定理和不等式求最小值（如 EF=CP≥CG）。
26．（2026春•普陀区校级期中）下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的每一条对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分
27．（2026春•上海校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是AD上一点，且DE＝2，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（ ）
A．6B．7C．8D．9
28．（2026春•徐汇区校级月考）已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠C
C．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BDD．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
29．（2026春•虹口区校级期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18B．16C．12D．10
30．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（ ）
A．减少20°B．减少10°C．增加20°D．增加10°
31．（2026春•普陀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，过菱形ABCD的顶点分别作对角线BD，AC的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形MNPQ的面积为（ ）
A．23B．4C．43D．8
32．（2026春•闵行区期中）菱形的周长是20，一条较短的对角线长是5，则该菱形较大的内角是 °．
33．（2026春•宝山区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为 ．
34．（2026春•虹口区期中）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠AOD＝120°，那么∠OEC＝ ．
35．（2026•静安区）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BF⊥CE，垂足为点P，已知CP＝9，PF＝7，那么BF的长为 ．
36．（2026春•虹口区校级期中）如图，在矩形ABCD中，CD＝5，BC＝12，点P为对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD交CD于点F，则线段EF长的最小值为 ．
37．（2026春•普陀区校级期中）如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF＝DE．如果∠DAB＝60°，AD＝6，求四边形BEDF的周长．
38．（2026春•虹口区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD交于点O，点P是边CD上一点（不与点C、D重合），连接AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）连接CE、DF，当CE∥DF时，求CF的长．
39．（2026春•静安区校级月考）如图①，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N．
（1）求证：AP＝MN；
（2）如图②，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP，BD于点E，F．求证：EF＝ME+FN．
40．（2026春•宝山区校级月考）【问题情境】如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F．
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明．
【考点4】三角形中位线与重心（对应第41-51题）
※ 方法总结
中位线定理：遇中点，连中点得中位线，平行于第三边且等于第三边一半；在四边形中连接对角线中点可得平行四边形。
重心性质：重心是中线的交点，将中线分成 2:1；常用于求线段长、面积比（如重心分中线，面积三等分）。
构造中位线：已知两边中点直接连接；或需取中点构造。
与角平分线结合：可延长构造等腰三角形，利用三线合一得中点，再用中位线。
动态最值：当动点运动到垂足时，中位线对应线段取最小值（如 FG = 1/2 CD，CD 最小时 FG 最小）。
41．（2026春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝12，BD⊥AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
42．（2026春•杨浦区期中）如图，在△ABC中，点F、D、E分别是边AB、BC、AC上的点，且AD、BE、CF相交于点O，若点O是△ABC的重心．则以下结论：①线段AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线；②△BOD的面积是△AOC面积的一半；③图中与△BOC面积相等的三角形有2个；④S△BOD＝S△COE；⑤OF=13AD．其中一定正确结论有（ ）
A．②③B．①③④C．②④⑤D．②③④
43．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG＝6，GC＝8，则BG的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
44．（2026春•虹口区校级期中）如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H．若AB＝9厘米，AC＝14厘米，BC＝18厘米，则GH的长为 厘米．
45．（2026春•普陀区期中）如图，△ABC的中线AD、BE交于点G，如果AB＝AC＝6，BC＝8，那么四边形CDGE的面积为 ．
46．（2026春•闵行区期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm，G是△ABC的重心，连接AG，则AG＝ cm．
47．（2026春•杨浦区期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是 ．
48．（2026春•松江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 ．
49．（2026春•闵行区校级月考）如图，矩形ABCD的面积为24，对角线AC、BD交于点O．如果E、F、G、H分别是△ABO、△BCO、△CDO、△ADO的重心，那么四边形EFGH的面积是 ．
50．（2026春•杨浦区期中）已知，如图，DE为△ABC的中位线，BD与CE交于点M，过点B作BN∥CE，交AM的延长线于点N，连接CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形；
（2）求证：AM＝MN．
51．（2025春•上海校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
课后巩固 · 针对性练习
课固1（平行四边形周长与垂直平分线） — 平行四边形对角线交点处的垂直平分线得到等腰三角形，转化求周长。
课固2（重心与面积） — 重心分中线，面积三等分；若三角形内一点分得三个三角形面积已知，可判断重心位置。
课固3（矩形综合） — 角平分线、等腰直角三角形、全等三角形、线段关系（倍长、和差）完美结合。
课固4（正方形中的等腰三角形） — 分类讨论等腰三角形的底和腰，利用正方形边长、对角线长及勾股定理求 AE 长度。
课固5（矩形对角线夹角） — 利用矩形对角线相等且互相平分，结合角平分线求角度。
课固6（中位线在一般三角形中的应用） — 取中点构造中位线，利用勾股定理求线段长。
课固7（正方形内垂直且相等关系） — 通过平移构造全等，证明两条线段垂直。
课固8（菱形判定与矩形判定） — 根据角平分线、平行线先证明菱形，再结合边等条件证明矩形。
课固9（矩形与三角形中位线综合） — 利用矩形的对角线中点及中线构造三角形中位线，证明等腰及求面积。
❤ 复习建议 四边形复习重在性质与判定的精准区分，务必熟练掌握各特殊四边形的对角线特性，并灵活运用中位线、重心分解图形。建议完成课后巩固中的综合题，体会全等与相似在四边形中的纽带作用。
1.（2026春•闵行区期中）如图，在周长为30cm的平行四边形ABCD中，AB＜AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长是（ ）
A．7.5cmB．10cmC．14.5cmD．15cm
2.（2026春•上海校级月考）如图，△ABC内部有一点D，且△DAB、△DBC、△DCA的面积分别为10、8、6．若△ABC的重心为G，则下列叙述正确的是（ ）
A．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC平行
B．△GBC与△DBC的面积相同，且DG与BC不平行
C．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC平行
D．△GCA与△DCA的面积相同，且DG与AC不平行
3.（2025春•浦东新区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且AD＝AE，DH⊥AE于点H，连接BH并延长，交CD于点F，连接DE．下列结论：①BC=2AB；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC＝2HE+CF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.（2026春•虹口区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD边上一点（与点A、D不重合），联结CE，交BD于点F．当△DEF是等腰三角形时，则AE的长为 ．
5.（2026春•虹口区校级期中）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠BAE：∠EAD＝3：2，则∠CAE的度数是 ．
6.（2026春•杨浦区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 ．
7.（2026春•浦东新区期中）如图，O为正方形ABCD内一点，连接DO并延长交边AB于E，过点O的直线与边AD，BC分别交于F，G．FG＝DE，求证：FG⊥DE．
8.（2026春•松江区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD＝PE，DE平分∠ADF．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果BC＝EF，∠EDC＝∠EFP，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
9.（2026春•金山区校级月考）如图，在矩形ACBM中，连接AB，CM交于点D，E为线段CD上一点，连接AE，BE，取BE的中点F，DC平分∠ADF．
（1）求证：AE＝AD．
（2）若DF=2，AC=245，求矩形ACBM的面积．
类别
核心性质
常用公式/判定
多边形
内角和 (n-2)·180°，外角和 360°
对角线数 n(n-3)/2，正多边形内角 = 180-360/n
平行四边形
对边平行且相等，对角线互相平分
判定：边、角、对角线条件
矩形
四个直角，对角线相等
面积=长×宽；对角线相等是重要判定
菱形
四边相等，对角线垂直平分且平分内角
面积=对角线积/2
正方形
四边相等，四角直角，对角线垂直相等
既是矩形又是菱形
中位线/重心
中位线平行且等于第三边一半；重心分中线 2:1
重心到顶点距离 = 2×重心到对边中点距离
猜想
判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等

②平行六边形的三组主对角分别相等

③平行六边形的三条主对角线互相平分

老师提出的问题：
同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、
方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
F的位置，使四边形AECF为平行四边形？
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，连接AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．