【期末冲刺】第25章 一次函数章节复习 优等生讲义(新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 函数的概念，能判断两个变量之间是否存在函数关系，会求函数的定义域。
掌握 正比例函数的图象与性质（过原点、k 的符号决定增减性和象限）。
熟练运用 一次函数的图象与性质（k,b 的几何意义），能根据图象解不等式、求交点坐标。
能够建立 一次函数模型解决实际问题（行程、费用、最值等）。
体会 数形结合、分类讨论思想在函数综合题中的应用。
✨ 核心：函数定义与自变量的取值范围 · 正比例与一次函数图象性质 · 待定系数法 · 实际应用建模。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 变量与函数
函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数，x 是自变量。
函数关系的判断：一个 x 对应唯一的 y；常见非函数关系：人的身高与体重（一个体重可能对应多个身高）。
函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。
自变量的取值范围（定义域）：
整式：全体实数。
分式：分母 ≠0。
二次根式：被开方数 ≥0。
实际问题：还需考虑实际意义。
函数图象的识读：横轴、纵轴的含义；图象的上升/下降代表函数值的增减。
☆ 正比例函数
定义：y=kx（k 是常数，k≠0），图象是过原点的直线。
性质：
k>0：图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大。
k0：y 随 x 增大而增大；k0：交 y 轴正半轴；b0 的解集 ⇔ 直线在 x 轴上方部分对应的 x 范围。
两个一次函数图象的交点坐标 ⇔ 对应二元一次方程组的解。
图象的平移：y=kx+b 向左/右平移 m 个单位：y=kx±m+b；向上/下平移 n 个单位：y=kx+b±n。
☆ 一次函数的应用
常见模型：行程问题（速度、时间、路程）、费用问题（阶梯水费、电费）、利润问题、最值问题。
解题步骤：
分析题意，确定自变量和因变量。
根据已知数据或图象求出函数解析式。
代入已知值求解，或根据自变量的范围求最值。
检验结果是否符合实际意义。
分段函数：不同自变量范围对应不同的解析式，需注意端点处理。
☆ 知识总结表
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】变量与函数（对应第1-9题）
※ 方法总结
判断函数关系：每个自变量 x 对应唯一的 y。注意“身高与体重”等反例。
求函数定义域：分式分母 ≠0，二次根式被开方数 ≥0，两者结合时要取交集。
实际问题中，还要根据具体情境确定范围（如时间、路程非负）。
识读函数图象：注意横纵坐标的含义；图象上升表示 y 随 x 增大而增大；平行于 x 轴的线段表示 y 不变（如休息、停留）。
分段函数：根据图象转折点分段求解析式。
一．变量与函数（共9小题）
1．（2026春•闵行区期中）下列两个变量间不存在函数关系的是（ ）
A．圆的面积和半径的关系
B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系
D．某人的身高和体重的关系
2．（2026•静安区）函数f(x)=1−xx−2的定义域是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x≠1D．x≠2
3．（2025春•徐汇区期末）台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径x（km）为横轴，风速y（m/s）为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图象，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为150km时，地面风速衰减至37.7m/s，此时150km为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ）
A．越靠近台风中心位置，风速越大
B．距台风中心150km处，风速达到最大值
C．10级风圈半径约为280km
D．在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减
4．（2026春•闵行区校级月考）函数y=2x−1x+1的自变量x的取值范围为 ．
5．（2026春•浦东新区校级月考）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为 ．（填“冰的厚度”或“时间”）
6．（2025•虹口区三模）函数y=xx−1中自变量x的取值范围是 ．
7．（2026春•两江新区校级期中）小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如图所示．
（1）小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？
（2）小明骑自行车下坡用时多少分钟？
8．（2026春•思明区校级期中）探究：某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=xx−1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应数值：
①表格中的m＝ ；n＝ ；
②在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质．
9．（2026春•莱芜区期中）张丽上午8点骑自行车外出游玩，如图是她离家的距离s（km）与时间t（h）之间的图象．根据图象回答问题：
（1）张丽在途中休息了多久？休息时离家多远？
（2）她几点到达目的地？在目的地停留了多久？目的地离家多远？
（3）她几点开始返回？几点到家？返回的平均速度是多少？
【考点2】正比例函数（对应第10-20题）
※ 方法总结
正比例函数 y=kx 必须满足 k≠0，且图象过原点。
根据 k 的符号判断象限和增减性：k>0 一、三象限，y 随 x 增大而增大；k0，越陡的 k 越大；对于 k0（或 k2x+b2：看直线 y1 在 y2 上方部分的 x 范围。
k 的几何意义：k 越大，直线越陡。当两直线平行时 k 相等。
与方程（组）的关系：kx+b=0 的解 ⇔ 图象与 x 轴交点的横坐标；方程组 y=k1x+b1y=k2x+b2 的解 ⇔ 两图象交点坐标。
21．（2026春•杨浦区校级月考）当k变化时，两条直线l1：y＝kx﹣k和l2：y＝kx+1的最大距离为（ ）
A．1B．2C．2D．22
22．（2026春•杨浦区校级月考）一次函数y1＝k1x+b与y2＝k2x﹣b分别与y轴交于点A、B，交点为（2，﹣1），在同一坐标系中图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．b＜0B．点A、B关于x轴对称
C．k1＜0＜k2D．当x＞2时，y1＞y2
23．（2025春•上海校级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜12D．x＞12
24．（2025春•上海校级月考）如果方程组y=3x+2y=(k+1)x−5无解，那么直线y＝（﹣2k+1）x﹣2不经过（ ）
A．第一象限B．第四象限C．第三象限D．第二象限
25．（2026春•闵行区校级月考）如图所示，直线y＝ax+b与直线y＝cx+d交点的横坐标是4，那么不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是 ．
26．（2026•西湖区一模）已知一次函数y＝﹣3x+2与y＝kx+6（k是常数，k≠0）的图象的交点横坐标是﹣1，则关于x，y的二元一次方程组3x+y−2=0kx−y+6=0的解是 ．
27．（2026春•永春县期中）如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P，则关于x，y的二元一次方程组y=x+2y=kx+b的解是 ．
28．（2026春•罗湖区校级期中）如图，直线y1=−12x+a和直线y2=12x+b相交于点（2，2），当−12x+a＜12x+b时，x的取值范围 ．
29．（2026春•昌平区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，y＝k3x+b3，y＝k4x+b4的图象分别为l1，l2，l3，l4，请将k1，k2，k3，k4从小到大排列，并用“＜”连接： ．
30．（2026春•闵行区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于点A、C，与一次函数y＝﹣x+7的图象交于点P，点P的横坐标为3，PB⊥x轴，B为垂足，AB＝2PB．
（1）求点P的坐标；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式．
31．（2026春•金凤区校级期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 ，关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
（2）若点C坐标为（1，3），关于x的不等式0≤k1x+b1＜kx+b的解集是 ．
（3）在（2）的条件下，求四边形OBCD的面积．
32．（2026春•临淄区期中）一次函数y1＝kx+b和y2=52x+m的图象如图所示，且A（﹣3，0），B（4，0）．
（1）关于x的方程kx+b＝0的解为x＝ ；关于x的不等式52x+m＞0的解集为 ；
（2）若不等式52x+m＜kx+b的解集是x＜﹣1，求点C的坐标．
33．（2026春•东城区校级期中）在函数学习过程中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数y=|32x−3|−m展开探索，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
直接写出m，n的值，m＝ ，n＝ ．
（2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
（3）已知函数y=−12x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式|32x−3|−m≥−12x+1的解集为 ．
34．（2026春•银川校级期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过函数y＝2x﹣5的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式2x﹣5＞0的解集是函数y＝2x﹣5图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集，是函数y＝kx+b（k≠0）图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 ．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为 ，关于x的方程mx+1＝2x+n（m≠0）的解是 ，关于x的不等式mx+1＞2x+n（m≠0）的解集是 ．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数y3＝ax+1（a≠0）和y4=12x+b的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B（1，0）和点C（4，0）．结合图象，直接写出关于x的不等式组12x+b＞ax+112x+b＞0的解集是 ．
（4）求图3中△ABC的面积（写出计算过程）．
【考点4】一次函数的应用（对应第35-46题）
※ 方法总结
行程问题：利用 s=vt，根据图象求速度、相遇时间、追及问题等。
费用问题：分段计费（如阶梯水费、电费），需写出分段函数，注意自变量的范围。
最值问题：在自变量范围内，根据函数的增减性求最大值或最小值。
构建函数模型：根据题意找出等量关系，设未知数，列一次函数解析式。
图象信息提取：从函数图象上读取关键点坐标（起点、终点、交点、转折点），利用待定系数法求解析式。
方案选择：比较两个不同函数的函数值大小，结合实际需要作出选择。
35．（2026春•徐汇区校级月考）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）
A．9：15B．9：20C．9：25D．9：30
36．（2026春•徐汇区校级月考）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了15，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y＝0.12x，x＞0B．y＝60﹣0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500D．y＝60﹣0.12x，0≤x≤500
37．（2025春•闵行区校级月考）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的个数是（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是44＜x＜90；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A．4B．3C．2D．1
38．（2026春•普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1（m），y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，y2＝﹣4x+150，点A的横坐标为25，则在第 秒时，1号和2号无人机在同一高度．
39．（2026•松江区模拟）一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是 m3．
40．（2026春•普陀区校级期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 分钟．
41．（2026春•徐汇区校级月考）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 ．
42．（2026春•徐汇区校级月考）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选择 种业务合算．
43．（2026春•闵行区期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程S（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图象，回答下列问题：
（1）甲的速度是 米/秒；
（2）先到达终点的是 （填“甲”或“乙”）；
（3）写出乙的图象的函数解析式及定义域 ．
44．（2026春•普陀区校级期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
（1）学校门口到学校操场的距离为 米；
（2）当乙追上甲时，求x的值；
（3）直接写出乙返回时行驶路程y与x的函数关系式．
45．（2026•徐汇区二模）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的90%核定计算，污水处理费统一单价为2元/m3.小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费y（元）与用水量x（m3）关系如图所示．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费1m3的单价为 元；图中点A的纵坐标为 ；
（2）小华家去年的年用水量为250m3，共缴纳水费1065元．通过计算推出n的值为 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
46．（2026•闵行区二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点P1，P2，P3都落在了线段AB上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度．
（1）求叠放在一起的纸杯总高度y（厘米）关于纸杯数量x（个）的函数解析式（不写定义域）；
（2）为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：根据点坐标确定函数图象的大致形状（轴对称性、增减性）。
作业2：识别一次函数（图象为直线）与二次函数（抛物线）的区别。
作业3：求分式型函数的定义域（分母≠0）。
作业4：一次函数与正比例函数图象共存问题（符号一致）。
作业5：一次函数 y=x−a 与 y=ax 图象共存判断（根据 a 的符号）。
作业6：一次函数交点坐标与二元一次方程组解的关系。
作业7：根据图象解不等式 00 增，k