北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，且，则实数的值可以为（ ）
2. 命题“”的否定是（ ）
3. 不等式的解集是（ ）
4. 设、、，且，则下列结论一定正确的是（ ）
5. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ）
6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ）
7. 已知，则“”是“”的（ ）
8. 已知函数，将其图象进行如下两种变换：
①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）；
②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度．
若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（ ）
9. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下：
已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ）
10. 已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（ ）（备注：不等式恒成立）
二、填空题
11. 已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________．
12. 已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________．
13. 关于定义域为的两个函数，给出下列四个结论：
①若均为偶函数，则为偶函数；
②若均有最大值，则有最大值；
③若为增函数，则可以不都是增函数；
④若是以为周期的函数，则均是以为周期的函数．
其中正确结论的序号是__________．
三、解答题
14. 已知集合，其中．
(1)求集合；
(2)若，求．
15. 已知函数的最大值为3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间．
条件①：图象的两条相邻对称轴的距离为；
条件②：的一个零点为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
16. 已知关于的不等式．
(1)当时，求此不等式的解集；
(2)若该不等式的解集为，求的值；
(3)若该不等式对于恒成立，求的取值范围．
17. 已知函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若存在实数使得，证明：．
18. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据：
根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题：
(1)求该造父变星的光变周期和平均“视星等”；
(2)求时该造父变星的“视星等”；
(3)已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由.
19. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分：
①对；
②对，若，均有．
(1)若．
（i）请写出一个集合的2维伴随拆分；
（ii）证明：集合不存在3维伴随拆分；
(2)若集合存在10维伴随拆分，求的最小值．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．0
B．1
C．2
D．3
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
常见场景
声压级／dB
极安静环境
安静环境
日常轻声环境
A．当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍
B．在极安静环境里，声压不超过
C．在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过
D．若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境
A．
B．
C．
D．
观测时间
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
“视星等”
4.5
5.0
4.5
3.5
3.0
3.5
4.5
5.0
4.5
3.5