广西玉林市九校2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试卷（含解析）

这是一份广西玉林市九校2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列导数运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】选项A，因为是常数，所以，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，，故C错误；
选项D，，故D错误，
2. 已知，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列组合公式列方程求参数.
【详解】由题意知，且，解得．
故选：C
3. 在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A. 56B. -56C. 70D. -70
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的概念即可求解.
【详解】第4项的二项式系数为.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】因为，则，
所以.
5. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A. 20B. 24C. 48D. 72
【答案】D
【解析】
【详解】
如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色，
以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类：
第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ，
第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ，
由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确.
6. 已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意至少分离出2个轻水分子含有分离出2个轻水分子和分离出3个轻水分子两种情况
【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”，
由题意知分离出1个轻水分子的概率为，
分离出1个非轻水分子的概率为，
所以，
故至少分离出2个轻水分子的概率为．
故选：D.
7. 某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率加法公式和条件概率公式计算即可.
【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件，
则 ，
，
则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.
8. 已知函数（）有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题设，因为（）有两个极值点，
所以在R上有两个不同的实根，
所以或，
即.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2张，则下列结论正确的是（ ）
A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况
B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况
C. 若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况
D. 若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况
【答案】ACD
【解析】
【分析】将4个奖项分给4个人的全排列数判断A；按另两个奖项由1人获得、2人获得分类计算判断B；将4个奖项按平均分组，再分配判断C；取2个奖项一组，分3组分给3人判断D.
【详解】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况，A正确．
对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，B错误．
对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有种不同的获奖情况，C正确．
对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，
共有种不同的获奖情况，D正确．
故选：ACD
10. 袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ）
A. 随机变量服从二项分布B.
C. D. 记这个球中白球的个数为，则
【答案】BD
【解析】
【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误；
选项，，
，，​
因此​，故正确。
选项，超几何分布期望公式​，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得，
根据期望性质，故错误；
选项，取出个球，因此（为白球个数）.
根据方差性质，得，故正确.
11. 甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A. 若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为
B. 若采用5局3胜制，则甲以获胜的概率为
C. 若，则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大
D. 若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】由二项分布及相互独立事件的概率计算公式逐项求解判断A、B、C，由二项分布及条件概率计算公式求解判断D.
【详解】对于A：若采用3局2胜制，可将比赛看作赛满3局处理，甲获胜则需在3局获胜2局或3局都胜，
其概率为，A正确；
对于B：若采用5局3胜制，甲以获胜则需在第4局比赛中获胜，且在前3局比赛中获胜2局，
其概率为，B错误；
对于C：若，则在5局3胜制中将比赛看作赛满5局处理，则甲获胜的概率为
，
在3局2胜制中将比赛看作赛满3局处理，甲获胜的概率为
，
，C正确；
对于D：由事件表示“甲获胜”，设事件表示“比赛局数为4局”，
事件C表示“比赛局数为3局”，事件D表示“比赛局数为5局”，
则，，
，，
所以，，
，，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，常数项为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】因为的通项公式为，
则的展开式中的项为或，
所以常数项为，
故答案为：.
13. 已知曲线，则在点的切线方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】，故，
又，所以曲线在点的切线方程为，
即.
14. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，
其中两个号码的和为偶数的有共4种情况，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为，
所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求当时，函数的最值.
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）最小值为，最大值为
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.
（2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值.
【小问1详解】
因为，
所以.
由或；由.
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又，，所以.
综上，当时，函数的最小值为，最大值为.
16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值；
【答案】（1）分布列为：

（2）
【解析】
【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望；
（2）应用全概率公式求概率即可；
【小问1详解】
由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，，
且的所有可能取值为2，3，4，，，，
故的分布列为：
法一：所以的数学期望.
法二：根据超几何分布的期望公式知.
【小问2详解】
记“下达的动作指令表述清晰”为事件，
记“下达的动作指令表述模糊”为事件，
记“机器人成功完成指令”为事件.
由已知得，，，，.
因为，
所以.
17. 已知展开式共有11项.
（1）求n的值，并求二项式系数的最大值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1），252
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）根据展开式的项数特征可求得，进而求得二项式系数的最大值；
（2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值；
（3）利用赋值法，令，代入原二项式展开式直接得到值.
【小问1详解】
二项式展开式的项数为，
由题知展开式共11项，因此，得，
因为10是偶数，故二项式系数的最大值为；
【小问2详解】
展开式中，系数的符号由决定，
即对应将原式中换为1后的系数，
等价于令代入原式：，
计算得，因此结果为；
【小问3详解】
令，代入等式得，
左边等于，因此结果为0.
18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表：
用频率估计概率．
（1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
（2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论）
【答案】（1）
（2）的分布列为
数学期望
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解；
（2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望；
（3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值.
【小问1详解】
由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为，
设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，
则；
【小问2详解】
由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
数学期望.
【小问3详解】
由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为，
服从二项分布，
则要使得使概率取得最大值需且，
则且，
解得，
为整数，所以，
使概率取得最大值时的值为.
19. 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，且恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：
【答案】（1）递增区间为，递减区间为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再根据导函数的正负求得的单调区间；
（2）分离参数后可构造函数，根据导数研究所构造的函数的最值即可求解；
（3）由（2）知，取，累加法可证.
【小问1详解】
因为函数，
所以函数的定义域为，.
当时，.
因为，所以当时，；当时，.
故函数的递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
由，且恒成立得
，整理得，即.
构造函数，则，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
所以，即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知时，，即，当且仅当时等号成立，
取，则，所以，
所以，，，.
上述n个式子相加得
，从而得证.2
3
4
2
3
4
男生（人）
女生（人）
合计（人）
运动达标
80
40
120
运动不达标
20
60
80
合计
100
100
200