广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷（含解析）

这是一份广西玉林市九校2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试卷（含解析），共8页。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的定义判断即可.
【详解】复数的虚部为.
故选：C.
2. 若直线在平面内，则符号表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐一分析选项，根据直线与平面不同位置关系的定义，判断每个选项对应的位置关系是否与题干“直线在平面内”一致
【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确；
对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误；
对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误；
对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误.
3. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A. 若是共线的单位向量，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由共线向量、相等向量和数量积的概念逐项判断即可.
【详解】选项A：共线单位向量可同向也可反向，反向时，A错误；
选项B：相等向量的定义是方向相同、模长相等，因此若，必有，B正确；
选项C：时，两向量夹角为或，夹角为时，C错误；
选项D：若是零向量，零向量与任意向量平行，此时与可以不平行，D错误.
4. 已知某平面图形的直观图是如图所示的梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ）

A. B. C. 12D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】求出梯形的面积，再利用斜二测画法直观图与原图形面积关系求解即得.
【详解】梯形中，，而，
则梯形的高，
因此梯形的面积，
而在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，
所以原图形OABC的面积为.
故选：D
5. 已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】以正方体为例，举例可说明充分性不成立，根据线面垂直的性质定理可说明必要性成立，即可得.
【详解】
如图，正方体中，，，平面为平面，
其中，平面，显然与平面不垂直，故“”不是“”的充分条件；
若，且，根据线面垂直的性质定理，可知成立，所以“”是“”的必要条件.
所以，“”是“”的必要不充分条件.
6. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】向量在上的投影向量为.
7. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ）
A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得.
【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上，
由，即的角平分线与边垂直，
所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形.
故选：B
8. 已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解.
【详解】因为，，，
由余弦定理得：，所以.
因为，所以，
又因为，所以为正三角形.
则当为线段的中点时，，即取最小值，
此时；
又因为，，三点共线，所以，
由平面向量基本定理，得，解得.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，复数，，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 的虚部为-5
【答案】BD
【解析】
【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D.
【详解】因为的共轭复数为，所以A错误；
因为，，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，
所以虚部为，所以D正确.
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则或3D. 若，则与的夹角为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示，即可求解.
【详解】A：若，则，解得，故A错误；
B：若，则，解得，故B正确；
C：，令，解得或，故C正确；
D：若，，，
则，
因为，所以，故D正确.
11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积的最大值为D. 周长的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】A. 利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换求解；B.利用正弦定理求解；C.利用余弦定理，结合基本不等式求解；D.利用余弦定理，结合基本不等式求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，则，即，故A错误；
由正弦定理得外接圆的半径为，即，
所以外接圆的面积为，故B正确；
由余弦定理得，即，则，
当且仅当时，等号成立，所以三角形的面积为：，故C正确；
由，得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以三角形的周长为，故D错误，
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据模长公式即可得解.
【详解】因为，
则.
故答案为：.
13. 圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的____倍.
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆锥的体积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径以及高分别为，则变化之后的半径和高分别为，
则原来的体积为，变化后的体积为,
故,
故答案为：2
14. 已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且；
，当时，取得最大值.
过点向平面作垂线，设的中点为垂足为，

因为，，所以由余弦定理知，
所以，易得.
所以.
因为，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即，解之得，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面内给定两个向量，.
（1）求的坐标；
（2）若，且、、三点共线，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得；
（2）首先求出，的坐标，依题意，根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
.
【小问2详解】
由题意可得，，
，
又、、三点共线，则可得，
即，解得.
16. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱的体积．
【答案】（1）2； （2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解.
（2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解.
【小问1详解】
设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，
所以圆柱的底面半径为2.
【小问2详解】
由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，
所以三棱柱的体积.
17. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.
（1）求两点间的距离；
（2）求大楼的高度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【小问1详解】
因为，
在中，由正弦定理得，
即，所以m，
即AC两点的距离为m；
【小问2详解】
在中，因为，，
所以，
又，
所以m，
即大楼的高度为m.
18. 在中，内角的对边分别为，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
【小问2详解】
由余弦定理得：，解得：，
.
【小问3详解】
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
又，；
，
令，，则在上单调递增，
，即，的最大值为.
19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为．
（1）求证：；
（2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（3）若，试判断的形状．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，；
（3）正三角形.
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式推理得证.
（2）利用余弦定理，结合（1）的结论及二倍角的正弦公式求解.
（3）由（1）（2）的结论可得，再利用余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解.
【小问1详解】
依题意，，
所以.
【小问2详解】
存在实数使等式成立．理由如下：
由（1）得，在中，由余弦定理得：
，，
三式相加整理得
，所以时，存在实数使.
【小问3详解】
当时，由（1）得，
由（2）得，，
在中，由余弦定理得，
于是
，当且仅当且时取等号，
由，得，则，，
即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号，
因此，当且仅当为等边三角形时取等号，
而，所以为等边三角形.