2024-2025学年广西玉林市高二上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西玉林市高二上学期期末教学质量监测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l:3x−4y+12=0在y轴上的截距为( )
A. 4B. −4C. 3D. −3
2.直线2x−y=0是双曲线x2a2−y24=1(a>0)的一条渐近线，则a=( )
A. 1B. 2C. 4D. 16
3.已知点B是点A3,7,−4在Ozx平面上的射影，则OB=( )
A. 58B. 5C. 65D. 25
4.记等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a7=13，则S10=( )
A. 13B. 45C. 65D. 130
5.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A. −12a+12b+cB. 12a+12b+c
C. −12a−12b+cD. 12a−12b+c
6.如图，在圆x2+y2=r2(r>0)上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是( )
A. 32B. 22C. 12D. 23
7.已知点P在抛物线M:y2=4x上，过点P作圆C:x−22+y2=1的切线，切点为A，若点P到M的准线的距离为5，则切线长PA为( )
A. 4B. 17C. 6D. 19
8.在一个数列中，如果∀n∈N∗，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a1=1,a2=2，公积为8，则a1+a2+⋯+a2024=( )
A. 4719B. 4721C. 4723D. 4724
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若圆C1:x2+y2−4x−32=0与圆C2:(x+2)2+(y+3)2=m有且仅有一条公切线，则m的值可能为( )
A. 1B. 121C. 36D. 126
10.已知直线l：kx+2y−3k−2=0，则下列选项正确的是( )
A. 当直线l与直线x+2y+2=0平行时，k=1
B. 当直线l与直线x+2y+2=0垂直时，k=4
C. 当k=2时，直线l的倾斜角为135°
D. 原点到直线l的距离最大值为 10
11.如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A. OM⊥AP
B. 存在点M，使OM//平面SBC
C. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D. 点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=2,−1,3，b=−4,2,−x，且a/​/b，则x= ．
13.首项为1的等比数列an中，4a1，2a2，a3成等差数列，则公比q= ．
14.已知点A,B,C是离心率为2的双曲线Γ:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上的三点，直线AB，AC，BC的斜率分别是k1,k2,k3，点D,E,F分别是线段AB,AC,BC的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率分别是k 1′,k2′,k 3′，若1k 1′+1k 2′+1k 3′=5，则k1+k2+k3= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an为等差数列，a2=11，a5=5．
(1)求数列an的通项公式；
(2)−100是数列an中的项吗?如果是，是第几项?如果不是，请说明理由；
(3)求数列an前n项和的最大值．
16.(本小题12分)
如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上，且C1E=3EC．
(1)证明：A1C⊥平面BED；
(2)求二面角A1−DE−B的大小的正切值．
17.(本小题12分)
在平面直角坐标系Oxy中，双曲线x23−y2=1的右焦点与抛物线C：y2=2pxp>0的焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：y=2x−1与C相交于M，N两点，F是C的焦点，求▵FMN的周长．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，a1=32，Sn=2an+1−3．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=n+1an，求数列bn的前n项和Tn；
(3)若cn=n2+nan，求使cn取得最大值时的n的值．
19.(本小题12分)
已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两个顶点坐标为(2,0)和(−2,0)，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l1过椭圆右焦点F2，与椭圆C交于P，Q两点，若OP⋅OQ=−3，求直线l1的方程；
(3)若直线l2的斜率为12，与椭圆C交于M，N两点，记以OM，ON为直径的圆的面积分别为S1，S2，▵OMN的面积为S，求SS1+S2的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.A
6.A
7.D
8.B
9.AB
10.ACD
11.ABD
12.6
13.2
14.15
15.解：(1)因为数列an为等差数列，且a2=11，a5=5，则a1+d=11a1+4d=5,
解得a1=13，d=−2，
an=13+n−1×−2=−2n+15．
(2)令−100=−2n+15，得n=1152，
又n=1152∉N∗，
故−100，不是数列an的项．
(3)法1：Sn=13n+nn−12×−2=−n2+14n=−n−72+49，
所以当n=7时，Sn取最大值，最大值为49．
法2：因为d0中，由题意得p2=c=2，即p=4，
所以抛物线C的方程是y2=8x．
(2)由y=2x−1y2=8x消去y并整理得4x2−12x+1=0，
设Mx1,y1、Nx2,y2，则▵=−122−16=128>0，
由韦达定理可得x1+x2=3，x1x2=14，
所以MF+NF=x1+x2+p=x1+x2+4=7，
MN= 1+22⋅ x1+x22−4x1x2= 5⋅ 32−1=2 10，
所以▵FMN的周长为MN+MF+NF=7+2 10．

18.解：(1)因为S1=2a2−3且S1=a1=32，所以a2=94，
由Sn=2an+1−3，可得：Sn−1=2an−3n≥2，
两式相减得：an=Sn−Sn−1=2an+1−2an，
因为an≠0，所以n≥2，an+1an=32，
又a2a1=32，综上，n≥1，an+1an=32，
所以an是首项和公比均为32的等比数列．
∴an=a1×qn−1=32n．
(2)由题意，bn=n+132n，
Tn=2×321+3×322+4×323+⋅⋅⋅+n+1×32n①
32Tn=2×322+3×323+4×324+⋅⋅⋅+n+1×32n+1②
①−②得
−12Tn=3+322+323+⋅⋅⋅+32n−n+132n+1
=3+94×1−32n−11−32−n+132n+1
=−32+92×32n−1−n+132n+1=−32+1−n32n+1
∴Tn=3+2n−132n+1
(3)由(1)可得，所以cn=23nn2+n，
n≥2时，由cncn−1=2n2+n3n2−n=2n+13n−1>1，可得n0，由韦达定理可得y1+y2=−2 3tt2+4，y1y2=−1t2+4；
所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=t2+1y1y2+ 3ty1+y2+3
=−t2+1t2+4−6t2t2+4+3=−4t2+11t2+4=−3，
解得t=± 23，
所以x=± 23y+ 3，即x+ 23y− 3=0或x− 23y− 3=0，
综上，直线l1的方程为x+ 23y− 3=0或x− 23y− 3=0．
(3)设直线MN的方程为y=12x+m，Mx3,y3，Nx4,y4，
由x24+y2=1y=12x+m，消去y得x2+2mx+2m2−2=0，
Δ=2m2−42m2−2=−4m2+8>0，即m2