2026年上海中考复习 简答第25题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固)培优讲义

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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 平行四边形、梯形、菱形等特殊四边形的性质与判定，能综合运用全等、相似、勾股定理进行几何论证。
熟练运用 相似三角形的基本模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）解决线段比例、面积比及动态几何中的函数关系。
理解 圆的性质（垂径定理、圆周角定理、切线性质）与圆中相似三角形的构造，能解决圆中的证明与计算。
掌握 与圆相关的函数关系（如半径、弦长与变量之间的函数解析式）及定义域、最值问题。
会利用 几何中的特殊位置（中点、黄金分割点、角平分线、垂直）建立方程，求解线段长度或比值。
提升 新定义问题（镶嵌相似形、优雅抛物线等）的阅读理解与迁移能力，综合运用方程思想、分类讨论。
✨ 核心聚焦：四边形综合、圆与相似、动态函数建模，精准突破第25题压轴几何证明与计算。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 四边形与相似三角形综合
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。常用作中点、构造全等（如题1中点构造、题4菱形判定）。
梯形性质：一组对边平行。常作辅助线：平移腰、作高、延长两腰，将梯形转化为三角形或平行四边形（题2、题11、题18）。
等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等，常与圆内接四边形结合。
相似三角形基本模型：A字型、8字型、母子型、一线三等角。在四边形中常结合中点、角平分线、垂直条件推导比例中项或等积式（题1、2、10、12、13）。
中点与中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半；中点可构造全等或平行（题1、2、4）。
黄金分割：点D是线段OE的黄金分割点 ⇔ ODDE=5−12 或 OEOD=5+12（题17）。
☆ 圆的基本性质与相似
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。常用于构造直角三角形、中点（题8、15、16）。
圆周角定理及推论：直径所对圆周角为90°；同弧所对圆周角相等。常用于证明垂直、等角，进而得相似（题3、6、9、14、15、16、17、21、22）。
切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是切线；切线长定理（题14、22）。
圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理。常由相似推导乘积式（题3、9、16、20、21）。
圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角，常用于等腰梯形、角度计算（题6、8、9、17）。
正多边形与圆：中心角 360n，边长、半径、边心距关系（题8）。
☆ 几何综合中的函数关系
相似三角形建立函数：利用相似比例式，将未知线段表示为自变量的函数，进而求解析式及定义域（题10、12、13、14、15、16、18、19、课后1、2、4）。
面积比与函数：通过相似三角形面积比等于相似比的平方，或等高三角形面积比等于底边比，建立面积关于变量的函数（题1、3、15、17）。
动圆与函数：圆中半径、弦心距、弦长之间的勾股关系，结合动点位置变化建立函数（题14、16、18、19、课后2、3、4）。
定义域与最值：根据几何约束（线段长度非负、点在线上、圆与直线相交等）确定自变量范围，并利用函数性质求最值或取值范围（题14、18、19、课后1、4）。
☆ 新定义与探究性问题
镶嵌相似形：一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且两三角形相似（题13）。解法：利用平行或比例构造相似，设未知数列方程。
直角三角形斜边中线逆定理：三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形（题20）。常用于证明直角。
黄金分割点：在圆中结合等腰三角形、相似推导比值（题17）。
☆ 知识模块速查表
核心考点 ·典例精讲
一．直击考场（共9小题）
1．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①如图1，若AE＝EF，求证：∠BAE＝∠EFC；
②如图2，若CF＝DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的长．
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE=13AB．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长．
3．如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．
（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求OGOD的值．
4．如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．
（1）如果AE＝CE．
ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；
ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；
（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE=2AE，求ABBC的值．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求ADBC的值；
（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．
7．如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠E=12∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cs∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出S△ADES△ABC的值．
8．已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
9．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
二．相似与函数（共7小题）
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，CE∥AB，DE∥AC，点F在边AC上，FD∥AE，BF的延长线交线段AE于点M．
（1）求证：△ABF≌△CAE；
（2）当点M是AE的中点时，求证：BF2＝4BM•FM；
（3）已知cs∠ABC=55，BC＝2，设CD＝x，EMAM=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
11．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，BD＝BC，过点C作对角线BD的垂线，垂足为E，交射线BA于点F．
（1）如图1，当点F在边AB上时，求证：△ABD≌△ECB；
（2）如图2，如果F是AB的中点，求FE：EC的值；
（3）联结DF，当BC＝8时，△BFD是什么三角形（直接写出结果）．
12．已知正方形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点G．
（1）如图1，如果CE＝CG，求证：BC2＝BE•BF；
（2）如图2，如果∠EAF＝45°，且CE＝CF，求∠F的正切值；
（3）以点C为圆心CE为半径画圆，⊙C与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P，如果AB＝2，CF＝2CE，EP＝CG，求EF的长．
13．定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC，AB，AC上，联结PD，DE，PE．
（1）如图1，P是BC中点，PD∥AC，PE∥AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形；
（2）如图2，当AB＝AC，BP＝2PC，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A＝∠PDE．求ADAB的值；
（3）如图3，如果∠A＝∠DPE＝90°，BP＝2，PC＝3，△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不平行，求AB的长．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，tan∠ACB=12，过点A的直线l与边BC平行，点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆．
（1）当直线AC与⊙O相切时，求OB的长；
（2）当直线l与⊙O相交时，交点记为点E、F，且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作⊙C，与⊙O的另一个交点记为G．
①若四边形ABCE是矩形，求OB的长；
②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求∠AEG的正切值．
15．已知：AB为⊙O的直径，AB＝5，点C在⊙O上．联结OC、BC，过点O作OD∥BC，交⊙O于点D．
（1）如图，联结DB，当∠ABC＝60°时，求证：四边形OCBD是菱形；
（2）作DE⊥OB，垂足为E．
①如图，联结AC、DC，DC交半径OB于点F，当∠OCD=12∠CAB时，求线段EF的长；
②如图，联结AC、AD、DB，设△ODE的面积为S1，四边形ACBD的面积为S2，如果S2＝7S1，求线段AC的长．
16．如图，在⊙O中，直径AB长为45，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D作OD的垂线交直线AB于点E．
（1）求∠CBO的正切值．
（2）当△BOD与△BDE相似时，求BD的长．
（3）以点E为圆心，ED长为半径画⊙E，试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系．
三．圆与函数（共6小题）
17．△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC．联结BO并延长，交AC于点D，交⊙O于点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F（点F不与点A重合）．
（1）如图1，如果∠CBF＝20°，求∠DBF的大小；
（2）如图2，联结OC，如果sin∠ACB＝x，S△ABFS△OBC=y，求y关于x的函数解析式（不用写自变量的取值范围）；
（3）如果点D是线段OE的黄金分割点，求cs∠BAC的值．
18．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线BA上，以BP为半径的⊙P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，PC＝y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的⊙D与⊙P相交，求R的取值范围．
19．如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC=35，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
20．
根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2，AB为半圆O的直径，CD是半圆O的弦，以CD为直径作⊙M．
（1）如图2①，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
①求证：CE2＝AE•BE；
②已知BE＝1，CE＝3，如果⊙M经过点O（如图2②），求直线CD与直线AB夹角的正弦值；
（2）已知⊙M与线段AB相交于点P、Q，CD=62，如果AP：PQ：BQ＝7：4：9，求AB的长．
21．已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧ABC的中点（如图），弦CD与AB交于点E．
（1）当E为CD的中点时，求证：AB＝4BE；
（2）求证：CEDE=2sin∠BAC；
（3）当AE＝CD时，求∠BAC的正弦值．
22．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长AO交BC于点D，过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点H，连结AG．
（1）判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC＝56°，求∠H和∠BAG的大小；
（3）若GF＝1，tan∠ABC＝2，求OD的长．
课后巩固 · 针对性练习
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．
（1）当AD＝1时，求FB的长；
（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
2．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，点O1是边BC上的动点，以点O1为圆心、O1C为半径的圆交边AC于点E．设O1C＝r．
（1）当点E是边AC的中点时，求r的值；
（2）已知点O2是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O2也与点A重合），以点O2为圆心、O1O2为半径作⊙O2．
①当⊙O2与边AD有公共点时，求r的取值范围；
②如果⊙O2经过边AD的中点，求此时⊙O2与⊙O1的公共弦长．
3．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是边AC上的中线．以点B为圆心，BD为半径的圆交线段CD于点E（点E不与点C、点D不重合）．
（1）如图1，如果⊙B与边BC交于点F，FE=DE，求∠DBE的度数；
（2）如图2，当AE＝5EC时，求∠C的正切值；
（3）如图3，以点E为圆心，BC为半径的⊙E与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上．如果BD＝1，求AE的长．
4．已知，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，csA=35，D是边AB上一动点，联结CD．点O在线段CD上，且COOD=45，以点O为圆心，CO为半径作⊙O，交边AC于点E．
（1）当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由；
（2）已知点F在⊙O上，且CE=CF，EF与边BC交于点H，当EF经过圆心O时（如图），求EHEF的值；
（3）过点D作DP∥AC，交边BC于点P，当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围．
5．已知AB是半圆O的直径，P是弦AC延长线上一点．
（1）联结PO与半圆交于点D．
①如图1，如果点C是弧AB的中点，且tanP=13，PC=22，求PD的长；
②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA＝PO，求PCPD的值．
（2）设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙O相切，以点P为圆心、PM为半径的圆与直线AB相切，求sin∠PAB的值．
模块
核心内容/定理
常见题型/方法
四边形综合
平行四边形、梯形性质；中点构造；全等、相似
证角相等、比例中项、面积比、求线段长
圆与相似
垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆幂定理
证垂直、等角、相似；求弦长、半径；证比例中项
函数建模
相似比与函数、面积与函数、圆中勾股函数
求y关于x的解析式及定义域、最值问题
新定义探究
镶嵌相似形、直角三角形斜边中线逆定理、黄金分割
阅读理解，转化为代数方程或几何条件
分类讨论
等腰三角形、相似对应、点位置、相切情况
多解情况，注意验证取舍
阅读材料：
我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这条定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真命题．
如图1，在△ABC中，CD为AB上的中线，如果CD=12AB，那么∠ACB＝90°．也可以说，在△ABC中，如果CD＝AD＝BD，那么∠ACB＝90°．