2026年上海中考复习 简答第21题专题复习讲义 (知识总结+考点精讲+课后巩固)

这是一份2026年上海中考复习 简答第21题专题复习讲义 (知识总结+考点精讲+课后巩固)，文件包含人教版八年级数学下册第24章测试卷docx、24章参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共4页， 欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 一次函数、反比例函数的解析式求法（待定系数法）及图象性质，能结合几何图形求交点、面积、三角函数值。
熟练运用 锐角三角比（正弦、余弦、正切、余切）解直角三角形，解决测量、角度计算、线段长度问题。
理解 圆的基本性质（垂径定理、圆周角定理、切线性质），能结合相似三角形或三角比进行圆中计算。
掌握 相似三角形在函数背景下的应用，能建立面积、线段与自变量的函数关系，并求定义域。
会利用 中点、中线、中位线、垂直平分线等几何条件，结合勾股定理、三角比进行综合计算。
提升 几何与代数综合能力，能灵活运用方程思想、分类讨论解决存在性问题。
✨ 核心聚焦：一次/反比例函数、锐角三角比、圆中基本计算、相似函数建模，精准突破第21题基础综合。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一、一次函数与反比例函数
一次函数：y=kx+b（k≠0）。待定系数法求解析式；图象与坐标轴交点；两直线平行则k相等（题7）；截距为b（题4）。
反比例函数：y=kx（k≠0）。待定系数法求k；图象与一次函数交点联立方程求解（题2、10、11）。
函数图象与几何综合：由点坐标求线段长、面积；构造直角三角形利用三角比（题2、3、10、11）。
定义域：实际问题中自变量取值范围由几何约束或实际意义确定（题1、9）。
☆ 二、锐角三角比与解直角三角形
锐角三角比定义：sinA=对边斜边，csA=邻边斜边，tanA=对边邻边，ctA=邻边对边。
特殊角三角比：30°、45°、60°的三角函数值需熟记，常用于构造直角三角形。
解直角三角形应用：已知一边一角或两边，求其他边角（题5、6、8、12、13、14、15）。
常见模型：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半（题15）；等腰三角形“三线合一”与三角比结合（题8）；梯形中作高转化为直角三角形（题6、13）。
☆ 三、圆的基本性质与计算
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（题3、16、18、20、课后4）。
圆周角定理及推论：直径所对圆周角为90°；同弧所对圆周角相等；弧中点与圆心、弦的关系（题16、18、课后4）。
切线性质：切线垂直于过切点的半径（题19、课后2）。
正多边形与圆：正五边形内角、中心角，利用等腰三角形和三角比求面积（题17）。
圆中弦长、半径、弦心距计算：勾股定理结合垂径定理（题3、18、20）。
☆ 四、相似三角形与函数建模
相似三角形判定：AA、SAS、SSS。常见于平行线（DE∥BC）构造A字型相似（题9）。
相似与函数：由相似得比例式，将面积或线段表示为自变量的函数（题9）。
重心性质：重心将中线分成2:1，常用于面积比计算（题9）。
☆ 知识模块速查表
核心考点 ·典型例题
一．直击考场（共8小题）
1．某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：t=20x+100x+2．
（1）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（2）求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
【答案】（1）y＝40x+80（0≤x≤3）；
（2）32摄氏度．
【分析】（1）求出每分钟加水量，从而写出y与x的函数关系式，当y＝200时，求出对应x的值，从而写出定义域即可；
（2）将y＝200对应的x的值代入t与x的关系式，求出对应t的值即可．
【解答】解：（1）每分钟加水量为（160﹣80）÷2＝40（升），
则y＝40x+80，
当40x+80＝200时，解得x＝3，
∴y与x的函数关系式及定义域为y＝40x+80（0≤x≤3）．
（2）当x＝3时，t=20×3+1003+2=32，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度．
【点评】本题考查一次函数的应用，求出y与x的函数关系式是解题的关键．
2．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
【答案】（1）k＝﹣6，m＝2．（2）sin∠OCA=255．
【分析】（1）将点B坐标代入一次函数解析式求出n，再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，最后将点A坐标代入反比例函数解析式求出m即可；
（2）求出点C坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可．
【解答】解：（1）点B（n，6）在直线y＝﹣2x+4图象上，
∴﹣2n+4＝6，解得n＝﹣1，
∴B（﹣1，6），
∵B（﹣1，6）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y=−6x，
∵点A（﹣3，m）在反比例函数图象上，
∴m=−6−3=2．
∴m＝2．
（2）在函数y＝﹣2x+4中，当y＝2时，x＝1，
∴C（1，2），
∴OC=5，
∴sin∠OCA=25=255．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
3．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cs∠ABC=45，OC=12OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．
【答案】（1）5；
（2）94．
【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理可得AD＝BD＝4，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据已知可得BC=32OB＝7.5，再利用平行线分线段成比例可得OBBC=BDBE，从而求出BE的长，进而求出AE的长，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB＝8，
∴AD＝BD=12AB＝4，
在Rt△OBD中，cs∠ABC=45，
∴OB=BDcs∠ABC=445=5，
∴⊙O的半径为5；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵OC=12OB，OB＝5，
∴BC=32OB＝7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD∥CE，
∴OBBC=BDBE，
∴23=4BE，
∴BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△BCE中，CE=BC2−BE2=7．52−62=4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC=CEAE=4.52=94，
∴∠BAC的正切值为94．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cs∠ABC的值．
【答案】（1）y＝x+1；
（2）55．
【分析】（1）理解截距得概念，再利用待定系数法求解；
（2）数形结合，求两个点之间得距离，再利用三角函数得定义求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+1，
∴2k+1＝3，
解得：k＝1，
一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）∵点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，
∴B（6，1），
∴C（6，3），
∴△ABC是直角三角形，且BC＝2，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝25，
∴cs∠ABC=BCAB=225=55．
【点评】本题考查了待定系数法的应用，结合三角函数的定义求解是解题的关键．
5．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cs∠ABC=45，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
【答案】（1）6；
（2）310．
【分析】（1）解锐角三角函数可得解；
（2）解法一：连接CF，过F作BD的垂线，垂足为E，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得CF＝FD，由勾股定理可得AD＝213，EF＝2，即可求tan∠FBD．
解法二：EF直接用三角形中位线定理求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cs∠ABC=BCAB=45，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=102−82=6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF=12AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD=AC2+CD2=62+42=213，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE=12CD＝2，
在Rt△EFC中，EF=CF2−CE2=13−4=3，
∴tan∠FBD=FEBE=3BC+CE=310．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE=12AC＝3，CE=12CD＝2，
∵BC＝8，CD＝4，
∴BE＝10，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD=FEBE=310．
【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求∠DBC的正切值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE=BC2−BE2=6，于是得到梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到CHAD=CDBD，根据勾股定理得到BD=AB2+AD2=82+62=10，BH=BC2−CH2=(35)2−32=6，于是得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝35，
∴CE=BC2−BE2=6，
∴梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴CHAD=CDBD，
∵BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴CH6=510，
∴CH＝3，
∴BH=BC2−CH2=(35)2−32=6，
∴∠DBC的正切值=CHBH=36=12．
【点评】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y=12x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y=12x，
∴k=12，
∵一次函数的图象经过点A（2，3），
∴3=12×2+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
（2）由y=12x+2，令y＝0，得12x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的交点为B（﹣4，0），
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为（0，y），
∵AC＝BC，
∴(2−0)2+(3−y)2=(−4−0)2+(0−y)2，
∴y=−12，
经检验：y=−12是原方程的根，
∴点C的坐标是（0，−12）．
【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
8．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC=34．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=32+12=10；
（2）
方法一：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=52，
∵tan∠DBF=DFBF=34，
∴DF=158，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=(52)2+(158)2=258，
∴AD＝5−258=158，
则ADBD=35．
方法二：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=52，
∴EF＝CF﹣CE=52−1=32，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∵∠FBD＝∠EBA，
∴Rt△BFD∽Rt△BEA，
∴ADDB=EFFB=3252=35．
【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
二．相似与函数（共3小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8．点D在边AC上运动（不与A、C重合），DE∥BC，交AB与点E，设AD＝x，△BDE的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（2）设BD与CE相交于点G，当点G是△ABC的重心时，求△BEG的面积．
【答案】（1）y=−45x2+4x(0＜x＜5)；（2）103．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得DE=85x，因为CD＝5﹣x，根据三角形面积公式即可得解；
（2）由重心的性质可得BGBD=23，AD=12AC=52，进而可得y＝5，据此求解即可．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴DEBC=ADAC，∠CDE+∠ACB＝180°，
即DE8=x5，
∴DE=85x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
依题CD＝5﹣x，
由S△BDE=12DE•CD
∴y=−45x2+4x(0＜x＜5)；
（2）∵G是△ABC的重心，
∴BGBD=23，AD=12AC=52，
∴y=−45×254+4×52=5，
∵△BEG与△BED同高，
∴S△BEGS△BDE=BGBD，即S△BEG5=23，
∴S△BEG=103．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、重心的性质、函数关系式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+1与双曲线y=kx（k是常数，且k≠0）交于点A（6，m）．
（1）求k与m的值；
（2）直线y=−12x+1与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线，交双曲线y=kx于点C，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据直线解析式求出m值，再根据点A坐标求出k值即可；
（2）根据条件求出反比例函数解析式，根据三角形面积公式代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵直线y=−12x+1与双曲线y=kx（k是常数，且k≠0）交于点A（6，m）．
∴m=−12×6+1=−2，
∴A（6，﹣2），k＝﹣12，
∴k＝﹣12，m＝﹣2；
（2）由（1）可知，反比例函数解析式为y=−12x，
在一次函数y=−12x+1中，当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），
在反比例函数y=−12x中，当x＝2时，y＝﹣6，
∴C（2，﹣6），
∴S△ABC=12×6×(6−2)=12．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+3（k≠0）与x轴、y轴交于A、B两点，反比例函数y=8x(x＞0)的图象经过直线l上的点P（2，n）．
（1）求直线l的表达式；
（2）已知点C在反比例函数y=8x(x＞0)的图象上，且∠BOC＝∠ABO，求点C的坐标．
【答案】（1）直线l的表达式为y=12x+3；
（2）C（4，2）．
【分析】（1）把点P（2，n）代入y=8x(x＞0)中得n=82=4，把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝2k+3，求得k=12；于是得到直线l的表达式为y=12x+3；
（2）解方程得到A（﹣6，0），B（0，3），求得OA＝6，OB＝3，如图，过C作CD⊥y轴于D，设C（m，8m），得到CD＝m，OD=8m，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）把点P（2，n）代入y=8x(x＞0)中得n=82=4，
∴P（2，4），
把P（2，4）代入y＝kx+3得4＝2k+3，
∴k=12；
∴直线l的表达式为y=12x+3；
（2）在y=12x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），B（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
如图，过C作CD⊥y轴于D，
设C（m，8m），
∴CD＝m，OD=8m，
∴∠CDO＝∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝∠ABO，
∴△ABO∽△COD，
∴OACD=OBOD，
∴6m=38m，
解得m＝4（负值舍去），
∴C（4，2）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
三．锐角三角比（共4小题）
12．如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分∠BAC，且AD⊥BE，分别交BE、BC于点H、D，EF⊥BE，交BC于点F，AB＝5，tan∠ABE=34．
（1）求BE的长；
（2）求tan∠EBC的值．
【答案】（1）8；
（2）14．
【分析】（1）先根据∠ABE的正切及AB的长求出BH的长，再结合AD⊥BE及AD平分∠ABC即可解决问题．
（2）根据题意，分别得出DH和EF为△BEF和△CAD的中位线，据此求出DH的长，最后在Rt△DHB中根据正切的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AD⊥BE，
∴在Rt△ABH中，
tan∠ABE=AHBH．
又∵AB＝5，∠ABE=34，
∴AH＝3，BH＝4．
又∵AD平分∠BAC，
∴BE＝2BH＝8．
（2）∵EF⊥BE，AD⊥BE，
∴AD∥EF．
又∵BH＝EH，
∴DH是△BEF的中位线，
∴EF＝2DH．
同理可得，AD＝2EF，
∴AD＝4DH，
即3+DH＝4DH，
∴DH＝1．
在Rt△BDH中，
tan∠EBC=DHBH=14．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的判定与性质，熟知正切的定义及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD＝2，ct∠ACB=43，梯形ABCD的面积是9；
（1）求AB的长；
（2）求tan∠ACD的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据锐角三角函数设出边长，利用梯形的面积公式列方程即可；
（2）作DH⊥AC于H，利用三角形相似，列比例式求出DH=65，AH=85，CH＝AC﹣AH=175，即可求出tan∠ACD=DHCH=617．
【解答】解：（1）在RtABC中，ct∠ACB=BCAB=43，
设BC＝4k，AB＝3k，
∴S梯形ABCD=12（AD+BC）•AB=12（2+4k）•3k＝9，
∴k＝1或k=−32（舍），
∴AB＝3；
（2）作DH⊥AC于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠ACB，
∴△ADH∽△CAB，
∴DHAB=ADAC=AHBC=25，
∴DH=65，AH=85，
∴CH＝AC﹣AH=175，
∴tan∠ACD=DHCH=617．
【点评】本题考查了锐角三角函数，梯形的面积，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，BD⊥DC，AB＝2，AD＝4，DC=5，ct∠CBD＝2．
（1）求tan∠ADB的值；
（2）联结AC交BD于点O，求BO的长．
【答案】（1）12；
（2）1059．
【分析】（1）先求出BD的长，再利用勾股定理逆定理，得出△ABD是直角三角形，再根据正切的定义即可解决问题．
（2）根据∠ADB和∠DBC的正切相等，得出这两个角相等，进一步得出AD∥BC，再利用相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，
ct∠CBD=BDCD=2，
∴BD＝2CD＝25．
又∵AB＝2，AD＝4，
∴AB2+AD2＝BD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°．
在Rt△ABD中，
tan∠ADB=ABAD=24=12．
（2）如图所示，
在Rt△BCD中，
tan∠DBC=DCBD=525=12．
∴∠DBC＝∠ADB，
∴AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴DOBO=ADCB=45，
∴BO=59BD=1059．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，tanA=34，CD是中线，作BE⊥CD，交边AC于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EBA的正切值．
【答案】（1）92；
（2）724．
【分析】（1）先求出AB和BC的长，再利用△BCE∽△ACB即可解决问题．
（2）令BE与CD的交点为F，利用勾股定理求出CF和BF的长，进一步得出DF的长，最后根据正切的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
tanA=BCAC，
∴BC8=34，
∴BC＝6，
则AB=62+82=10．
∵CD是中线，
∴CD＝DA，
∴∠A＝∠ACD．
∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠CBE，
∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠A＝∠CBE，
∴△BCE∽△ACB，
∴CEBC=BCAC，
则CE6=68，
∴CE=92．
（2）令CD与BE的交点为F，
∵tan∠CBE＝tanA=34，
∴令CF＝3x，BF＝4x，
则BC＝5x，
∴5x＝6，
解得x=65，
∴BF=245，CF=185．
又∵CD=12AB=5，
∴DF=5−185=75．
在Rt△BFD中，
tan∠EBA=DFBF=75245=724．
【点评】本题主要考查了解直角三角形及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正切的定义是解题的关键．
四．相似与圆（共5小题）
16．如图，已知AD是半圆O的直径，半径OB垂直于弦AC，垂足为点E，联结AB，CD=2AB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求tan∠BAC的值．
【答案】（1）45°；
（2）2−1．
【分析】（1）连接OC，根据垂径定理可得：AC=2AB=2BC，从而可得CD=AC，进而可得∠AOC＝∠COD＝90°，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠AOB＝∠BOC＝45°；
（2）设AE＝x，在Rt△AEO中，利用锐角三角函数的定义求出OE和OA的长，从而求出BE的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接OC，
∵半径OB垂直于弦AC，
∴AC=2AB=2BC，
∵CD=2AB，
∴CD=AC，
∴∠AOC＝∠COD＝90°，
∵AB=BC，
∴∠AOB＝∠BOC=12∠AOC＝45°；
（2）设AE＝x，
∵OB⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠AOE＝45°，
∴EO=AEtan45°=x，OB＝AO=AEsin45°=2x，
∴BE＝OB﹣OE＝（2−1）x，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAE=(2−1)xx=2−1．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
17．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F．
（1）求证：AB＝AF．
（2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cs36°≈0.81，tan36°≈0.73）．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）239.0．
【分析】（1）证明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得结论；
（2）过点B作BH⊥OA于点H．解直角三角形求出OH，AB，可得结论．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC，OB．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°，
∴∠BAC=12∠BOC＝36°，∠ABF=12∠AOD＝72°，
∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
（2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB•sin36°，OH＝OB•cs36°，
∴五边形ABCDE的面积＝5×12•AB•OH
＝5×12×2×OB2•sin30°•cs36°
＝5×102×0.59×0.81
≈239.0．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
18．已知：如图，M是AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=43cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACN的度数．
【答案】（1）2cm；
（2）120°．
【分析】（1）过点O作OD⊥MN，垂足为点D，由垂径定理，得MD＝ND，由MN=43cm，得到MD=23cm，根据OM＝4cm，利用勾股定理即可求解出OD，即可得出结果；
（2）根据点M是AB的中点，得到OM⊥AB，根据cs∠OMD=MDOM=32，得到∠OMD＝30°，进而得到∠ACM＝60°，即可求出∠ACN的度数．
【解答】解：（1）过点O作OD⊥MN，垂足为点D，连接OM，
∴MD＝ND，
∴MD=23cm，
又∵OM＝4cm，
∴OD=OM2−MD2=2cm，
即圆心O到弦MN的距离为2cm；
（2）由条件可知OM⊥AB．
∵cs∠OMD=MDOM=32，
∴∠OMD＝30°．
∴∠ACM＝60°．
∴∠ACN＝120°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E．
（1）当BC＝12时，求⊙O的半径长；
（2）求ADCD的值．
【答案】（1）⊙O的半径长为4；
（2）ADCD的值为12．
【分析】（1）由⊙O与AB边相切于点E，得∠OEB＝90°，而∠B＝30°，OE＝OC，所以OB＝2OE＝2OC，由BC＝2OC+OC＝12，求得OC＝4，则⊙O的半径长为4；
（2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE，由∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°，求得∠BOE＝∠C＝60°，则△COE是等边三角形，所以∠COD＝60°，求得∠DOE＝60°，则△EOD是等边三角形，所以∠OED＝60°，求得∠AED＝30°，则AD=12ED=12CD，所以ADCD=12．
【解答】解：（1）∵⊙O与AB边相切于点E，
∴AB⊥OE于点E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠B＝30°，OE＝OC，
∴OB＝2OE＝2OC，
∵OB+OC＝BC＝12，
∴2OC+OC＝12，
∴OC＝4，
∴⊙O的半径长为4．
（2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE，
∵∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠BOE＝∠C＝90°﹣∠B＝60°，
∴△COE是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COD﹣∠BOE＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠OED﹣∠OEB＝30°，
∴AD=12ED，
∵ED＝OD＝CD，
∴AD=12CD，
∴ADCD=12，
∴ADCD的值为12．
【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．
（1）求EF的长；
（2）求∠COE的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作OM⊥EF于M，如图，根据垂径定理得到EM＝FM，利用三角形中位线性质得到OM=12AC＝4，然后利用勾股定理计算出EM，从而得到EF的长；
（2）利用CE＝OE＝5得到∠EOC＝∠OCE，在利用勾股定理计算出OC＝45，然后利用正弦的定义求出sin∠OCM，从而得到∠COE的正弦值．
【解答】解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝90°，
∴OM∥AC，
∴OM=12AC=12×8＝4，
在Rt△OEM中，EM=52−42=3，
∴EF＝2EM＝6；
（2）CM=12BC＝8，
∴CE＝8﹣3＝5，
∴CE＝OE，
∴∠EOC＝∠OCE，
在Rt△OCM中，OC=42+82=45，
∴sin∠OCM=OMOC=445=55，
∴∠COE的正弦值为55．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
五．其它题型（共3小题）
21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）求证：DF＝DE；
（2）连接EF，若BE＝8，CF＝6，求△DEF的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AD．只要证明△CDF≌△ADE（ASA）即可解决问题．
（2）连接EF，在RT△AEF中，求出FE，再根据等腰直角三角形的性质求出DE、DF即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
又∵∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝BD，∠C＝∠DAE＝45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF＝∠ADE+∠ADF，
∴∠CDF＝∠ADE，
在△CDF和△ADE中
∠C=∠DAECD=AD∠CDF=∠ADE，
∴△CDF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE．
（2）连接EF．由（1）知，AE＝CF＝6，同理AF＝BE＝8
∵∠EAF＝90°
∴EF=AE2+AF2=62+82=10，
∵DE＝DF，DE⊥DF
∴△DEF为等腰三角形
∴DE2+DF2＝EF2＝100
∴DE＝DF＝52，
∴S△DEF=12•（52）2＝25．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点F是BC的中点，联结OF并延长到点E，使得EF＝OF，联结BE，CE．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）点M在OC边上，联结MF，∠OBC＝∠FOC+∠MFC，AC＝10，BD＝6．求OM的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）175
【分析】（1）根据菱形性质得AC⊥BD，则∠BOC＝90°，再根据点F是BC的中点，EF＝OF得四边形OBEC是平行四边形，由此即可得出结论；
（2）根据菱形性质得OC=12AC＝5，OB=12BD＝3，则BC=34，再根据矩形性质得OF＝BF＝CF＝EF=12BC=342，OB∥CE，证明∠OMF＝∠CEO，进而得△OMF和△OCE相似，再利用相似三角形的性质即可求出OM的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
∵EF＝OF，
∴四边形OBEC是平行四边形，
又∵∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝6，
∴OC=12AC＝5，OB=12BD＝3，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=OB2+OC2=32+52=34，
∵四边形OBEC是矩形；
∴OF＝BF＝CF＝EF=12BC=342，OB∥CE，
∴∠OBC＝∠BOE，∠BOE＝∠CEO，
∴∠OBC＝∠CEO，
∵∠OBC＝∠FOC+∠MFC，
∴∠CEO＝∠FOC+∠MFC，
∵OF＝CF，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠CEO＝∠FCO+∠MFC，
∵∠OMF是△MFC的外角，
∴∠OMF＝∠FCO+∠MFC，
∴∠OMF＝∠CEO，
又∵∠FOM＝∠COB，
∴△OMF∽△OCE，
∴OMOE=OFOC，
∴OC•OM＝OE•OF，
∴5×OM=342×34，
∴OM=175．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．如图，已知在△ABC中，BC＝6，AC＝4，∠C＝60°．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段AB上作点D，使得DB＝DC（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求AD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）127．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质作图；
（2）根据勾股定理和平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：（1）如图：点D即为所求；
（2）过A作AE⊥BC于点E，由（1）得：DF垂直平分BC，
则BF＝CF＝3，DF∥AE，
在直角三角形ACE中，
∵AC＝4，∠C＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE=12AC＝2，
∴EF＝1，AE=AC2−CE2=23，
∴AB=AE2+BE2=27，
∵DF∥AE，
∴ADAB=EFBE，即：AD27=14，
解得：AD=127．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、勾股定理和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
⭐ 复习建议：强化函数解析式求法，熟练掌握锐角三角比在几何图形中的灵活运用，重视圆中垂径定理与圆周角定理的基本计算，并注意相似三角形在函数建模中的应用。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝55，tanC＝2，点D为边BC的中点，以D为圆心，以DB为半径作弧交边AB于点E，求BC和BE的长．
【答案】BC＝10，BE＝25．
【分析】连接AD，DE，作DF⊥BE于点F，根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD=12BC，∠B＝∠C，解直角三角形和勾股定理即可求出BC＝10，根据尺规作图和等腰三角形的性质得DE＝DB，BE＝2BF，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AD，DE，作DF⊥BE于点F，
∵AB＝AC＝55，点D为边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD=12BC，∠B＝∠C，
∴tanC=ADCD=2，
设CD＝x，则AD＝2x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴4x2+x2＝125，
解得x＝5（﹣5舍去），
∴BD＝CD＝5，
∴BC＝10，
∵以D为圆心，以DB为半径作弧交边AB于点E，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∵tanB＝tanC＝2，
∴DFBF=2，
设BF＝y，则DF＝2y，
∵BF2+DF2＝BD2，
∴y2+4y2＝25，
解得y=5（−5舍去），
∴BF=5，
∴BE＝25．
【点评】本题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和等腰三角形的性质．
2．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
（1）求证：AB与半圆O相切；
（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．
【答案】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
而OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）45．
【分析】（1）连接OD，连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AC，然后利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得到csC=45，在Rt△OCA中，由csC=OCAC=45，即可求出sin∠OAC．
【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AC，
而OH⊥AB，
∴OH＝OD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）由（1）知OD⊥AC，
在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，
∴OD2+42＝（OD+2）2，
∴OD＝3，
∴OC＝5，
∴csC=CDOC=45，
在Rt△OCA中，csC=OCAC=45，
∴sin∠OAC=OCAC=45．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键．
3．在平面直角坐标系xOy中（如图），反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（k﹣4，1﹣k）．
（1）求k的值；
（2）点B在该反比例函数图象上（点B与点A在不同的象限内），联结AB，与x轴交于点P，且BP＝3AP，求∠BPO的正切值．
【答案】（1）k＝2；（2）tan∠BPO=32．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出k＝（k﹣4）（1﹣k），求出k值即可；
（2）作BF⊥x轴，垂足为F，作AE⊥x轴，垂足为点E，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到AE＝1，BF＝3，再利用三角形相似的性质得到PF=34EF=34×83=2，最后根据正切的定义求出∠BPO的正切值即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（k﹣4，1﹣k），
∴k＝（k﹣4）（1﹣k），
解得k＝2．
（2）如图，作BF⊥x轴，垂足为F，作AE⊥x轴，垂足为点E，
由（1）可知，AE＝1，OE＝2，
∵AE∥BF，
∴△AEP∽△BFP，
∴AEBF=EPFP =APBP=13，
∴BF＝3，
当y＝3时，3=2x，
∴OF=23，
∴EF＝2+23=83，
∴PF=34EF=34×83=2，
∴tan∠BPO=BFPF=32．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
4．在⊙O中，点C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，且D是OC的中点．
（1）求∠AOD的度数；
（2）延长AO交⊙O于点E，联结EC，交AB于点F，如果AE＝8，求FB的长度．
【答案】（1）60°；
（2）433．
【分析】（1）根据垂径定理求出OC⊥AB，OD＝OC=12OC，再解直角三角形求解即可；
（2）根据圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质求出∠ADO＝90°，AC=BC，∠OAB＝30°，∠CEB＝30°，解直角三角形求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵点C是弧AB的中点，且D是OC的中点，
∴OC⊥AB，OD＝OC=12OC，
∴OD=12OA，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝90°﹣30°＝60°；
（2）如图，连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，AC=BC，
∵∠AOD＝60°，
∴∠OAB＝90°﹣60°＝30°，∠CEB=12∠AOD＝30°，
∴BE=12AE=12×8＝4，
在Rt△BEF中，tan∠FEB=BFBE=33，
∴FB=33BE=433．
【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，熟练运用垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，垂足为点D，DE∥AB，交边BC于点E，tanB=512，求DEAB的值．
【答案】413．
【分析】先证明△CAD≌△FAD，得AC＝AF，CD＝DF，再运用tanB=512，得出AC＝AF＝5x，CB＝12x，结合勾股定理列式计算AB=CD2+CB2=13x，再证明△CDE∽△CFB，得出DEFB=CDCF=12，则DE＝4x，所以DEAB=4x13x=413，即可作答．
【解答】解：延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠FDA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△CAD≌△FAD（ASA），
∴AC＝AF，CD＝DF，
在Rt△ABC中，tanB=ACBC=512，
∴设AC＝AF＝5x，则CB＝12x，
∴AB=CD2+CB2=13x，
∴FB＝AB﹣AF＝13x﹣5x＝8x，
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠CFB，∠CED＝∠B，
∴△CDE∽△CFB，
∴DEFB=CDCF=CD2CD=12，
则DE=12⋅FB=4x，
∴DEAB=4x13x=413．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质，角平分线的定义，正确掌握相关知识是解题的关键．
模块
核心内容/定理
常见题型/方法
一次/反比例函数
待定系数法求解析式；图象交点；坐标几何
求解析式、交点坐标、线段长、面积
锐角三角比
sin, cs, tan, ct；解直角三角形
求边长、角度、正切值；实际测量
圆的性质
垂径定理、圆周角定理、切线性质
求半径、弦长、弦心距、角度；正多边形面积
相似三角形
A字型、8字型；平行线分线段成比例
证相似、求比例、建立函数关系
几何综合
中点、中线、中位线、垂直平分线
求线段长、面积比、三角函数值