2026年上海中考复习 简答第24题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固)培优讲义

这是一份2026年上海中考复习 简答第24题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固)培优讲义，文件包含新人教版八年级下册数学第二十二章测试卷docx、第二十二章答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共3页， 欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 二次函数解析式的求法（待定系数法、顶点式、交点式），能根据图象特征求参数值。
熟练运用 二次函数图象的平移变换规律（左加右减、上加下减），解决平移后的解析式、顶点坐标及交点问题。
理解 二次函数与几何图形（三角形、四边形、梯形、矩形等）的综合，利用相似、勾股、面积等建立方程。
掌握 存在性问题（等腰直角三角形、直角梯形、平行四边形、相似三角形、角相等）的解法，通过分类讨论列方程。
会利用 二次函数的最值、对称性、顶点坐标解决线段最值、面积最值及动态几何中的范围问题。
提升 新定义问题（回归抛物线、优雅抛物线）的理解与迁移能力，结合图形变换（翻折、旋转）综合求解。
✨ 核心聚焦：二次函数解析式与平移变换、几何条件代数化、存在性分类讨论、新定义探究。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 二次函数基础知识
一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。顶点坐标 −b2a,4ac−b24a，对称轴 x=−b2a。
顶点式：y=ax−ℎ2+k，顶点ℎ,k，直接体现最值和对称轴。
交点式：y=ax−x1x−x2，用于已知与x轴交点时快速求解析式。
待定系数法：根据已知点坐标或顶点、对称轴等条件列方程组求系数。
☆ 二次函数图象的平移
平移规律：左右平移——y=ax∓ℎ2+k（左加右减）；
上下平移——y=ax−ℎ2+k±m（上加下减）。
平移后顶点坐标变化：平移前后抛物线形状（开口方向、大小）不变，即a相同。
平移后的解析式求法：已知原抛物线和平移方向距离，直接对顶点坐标进行相应加减，再用顶点式写出新解析式。
平移与交点：平移后抛物线与原抛物线可能相交，交点满足两个解析式联立。
☆ 二次函数与几何综合常见题型
等腰直角三角形存在性：利用直角边相等、垂直关系（斜率乘积为-1）或勾股定理列方程。
梯形/直角梯形：一组对边平行（斜率相等），另一组对边不平行；直角梯形还需一个内角为90°。
相似三角形存在性：根据对应角相等或对应边成比例建立方程，注意分类对应关系。
角相等问题：常用三角比（正切）相等或全等/相似转化，也可用斜率关系（两直线夹角公式）。
翻折（对称）问题：翻折前后对应点连线被折痕垂直平分，利用中点坐标和垂直关系列方程。
旋转问题：旋转90°常用全等构造或坐标旋转公式（如点绕某点旋转90°）。
面积问题：直接公式、割补法、铅垂高法，常结合二次函数最值求面积最大值或定值。
重心、内心等特殊点：重心坐标公式 x1+x2+x33,y1+y2+y33。
☆ 新定义问题
回归抛物线：抛物线上存在一点A，其关于原点的对称点也在抛物线上。通常设点坐标代入，利用对称性建立方程。
优雅抛物线：顶点坐标t,at2，即顶点纵坐标等于a乘以横坐标平方。可转化为顶点坐标满足的等式。
不动点：横纵坐标相等的点，即x=y，代入解析式解方程。
☆ 知识模块速查表
核心考点 ·典例精讲
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点P，抛物线与y轴交于点C．
（1）求b和c的值．
（2）另一条抛物线y＝ax2+mx+n（a≠1）也经过点A（1，1）和B（3，1），顶点为点Q，与y轴交于点D．
①求CDPQ的值；
②当四边形CDPQ是直角梯形，求其最小内角的正弦值．
【答案】（1）b=−4c=4；
（2）①3；②35或1717．
【分析】（1）将A和B代入解析式，求出b和c的值；
（2）①将A和B代入解析式，求出抛物线解析式为抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，得出D和Q的坐标，得到CD和PQ的长度，得出比值；
②分类讨论即可．
【解答】解：（1）将A（1，1），B（3，1）代入y＝x2+bx+c中，
∴1=1+b+c1=9+3b+c，
∴b=−4c=4；
（2）①将A（1，1），B（3，1）代入y＝ax2+mx+n（a≠1）中，
∴1=a+m+n1=9a+3m+n，
∴m=−4an=1+3a，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，
∵抛物线与y轴交于点D，
∴D（0，3a+1），顶点Q（2，1﹣a），
由（1）可知：y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴C（0，4），P（2，0），
∴CD＝|3a﹣3|，PQ＝|a﹣1|，
∴CDPQ=|3a−3||a−1|=3；
②a．当CD⊥PD时，如图所示，D（0，0），
∴3a+1＝0，
∴a=−13，
∴Q（2，43），
∴∠QCD为最小内角，
过点Q作QM⊥CD于点M，
∴M（0，43），
∴QM＝2，CM=83，CQ=103，
∴sin∠QCD=35；
b．当CD⊥CQ时，如图所示，Q（2，4），
∴1﹣a＝4，
∴a＝﹣3，
∴D（0，﹣8），
∴∠CDP为最小内角，
过点P作PN⊥CD于点N，
∴N（0，0），
∴PN＝2，DN＝8，PD=217，
∴sin∠CDP=1717；
综上所述：最小的角的正弦值为35或1717．
【点评】本题考查了二次函数的性质，三角函数，分类讨论等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线经过A(0，−53)和B（5，0）．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
【答案】（1）y=13x2−43x−53；
（2）①0＜m＜1；②P(7，163)．
【分析】（1）设平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线为y=13x2+bx+c，把A(0，−53)和B（5，0）代入，可得答案；
（2）①如图，设Q(x，13x2)，则P(x，13x2−43x−53)，PQ=43x+53，结合PQ小于3，可得43x+53＜3，结合x＝m（m＞0），从而可得答案；
②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，可得P′(5，253)，结合平移的性质可得答案如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P'作P′S⊥QP于S，证明△P'SQ∽△BTP，可得QSP′S=PTBT，设P′(x，13x2)，则P(x+2，13x2−3)，S(x+2，13x2)，Q[x+2，13(x+2)2]，再建立方程求解即可．
【解答】解：（1）设平移抛物线y=13x2后得到的新抛物线为y=13x2+bx+c，
把A(0，−53)和B（3，0）代入，
可得：c=−53253+5b+c=0，解得：b=−43，c=−53，
∴新抛物线为y=13x2−43x−53；
（2）①如图，设Q(x，13x2)，则P(x，13x2−43x−53)，
∴PQ=13x2−13x2+43x+53=43x+53，
∵PQ小于3，
∴43x+53＜3，
∴x＜1，
∵x＝m（m＞0），
∴0＜m＜1；
②y=13x2−43x−53=13(x−2)2−3，
∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，
∴BP′⊥x轴，
∴xP′＝xB＝5，
∴P′(5，253)，
由平移的性质可得：P(5+2，253−3)，即P(7，163)；
如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°，
∴△P'SQ∽△BTP，
∴QSP′S=PTBT，
设P′(x，13x2)，则P(x+2，13x2−3)，S(x+2，13x2)，Q[x+2，13(x+2)2]，
∴13(x+2)2−13x22=13x2−3x+2−5，
解得：x＝1或3（不符合题意舍去）；
综上：P(7，163)．
【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点B，点C不与点B重合．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】（1）A（﹣8，0）；
（2）b=32，c＝6；
（3）抛物线N的函数解析式为：y=316(x−42)2或 y=316(x+42)2．
【分析】（1）根据题意，分别将x＝0，y＝0代入直线 y=34x+6 即可求得；
（2）设 c(m，34m+6)，得到抛物线的顶点式为 y=a(x−m)2+34m+6，将B（0，6）代入可求得 m=−34a，进而可得到抛物线解析式为 y=ax2+32x+6，即可求得b，c；
（3）根据题意，设P（p，0），c(m，34m+6)，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得m＝﹣4，a=316，然后得到抛物线N解析式为：y=316(x−p)2，将B（0，6）代入可得 p=±42，即可得到答案．
【解答】解：（1）在 y=34x+6中，令x＝0得：y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0得：x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）；
（2）设c(m，34m+6)，设抛物线的解析式为：y=a(x−m)2+34m+6，
∵抛物线M经过点B，
∴将B（0，6）代入得：am2+34m+6=6，
∵m≠0，
∴am=−34，即 m=−34a，
将m=−34a 代入y＝a（x﹣m）2+34m+6，
整理得：y=ax2+32x+6，
∴b=32，c＝6；
（3）如图：
∵CD∥x轴，点P在x轴上，
∴设P（p，0），c(m，34m+6)，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴34m+6=6−(34m+6)，
解得：m＝﹣4，
由（2）知 m=−34a，
∴a=316，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−p)2，
将B（0，6）代入可得：p=±42，
∴抛物线N的函数解析式为：y=316(x−42)2或 y=316(x+42)2．
【点评】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图象性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2+bx+c过点A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，平移后的顶点为P（m，n）（m＞0）．
ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；
ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．
【答案】（1）y=12x2−3；
（2）i．k≥2；
ii.P(23，3)．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）i．根据三角形面积求出平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，由二次函数的性质可得出答案；
ii．P（m，12m2−3），证出BP＝PQ，由等腰三角形的性质求出∠BPC＝60°，由直角三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）代入y=12x2+bx+c，得：
−1=2−2b+c−3=c，
解得：b=0c=−3，
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣3．
（2）i．∵y=12x2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），
即点B是原抛物线的顶点，
∵平移后的抛物线顶点为P（m，n），
∴抛物线平移了|m|个单位，
∴S△OPB=12×3|m|＝3，
∵m＞0，
∴m＝2，
即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴k≥2；
ii．把P（m，n）代入y=12x2﹣3，
∴n=12m2−3，
∴P（m，12m2−3），
由题意得，新抛物线的解析式为y=12(x−m)2+n=12x2−mx+m2−3，
∴Q（0，m2﹣3），
∵B（0，﹣3），
∴BQ＝m2，BP2=m2+(12m2−3+3)2=m2+14m4，PQ2=m2+[(12m2−3)−(m2−3)]2=m2+14m4，
∴BP＝PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC＝m，
∵PB＝PQ，PC⊥BQ，
∴BC=12BQ=12m2，∠BPC=12∠BPQ=12×120°＝60°，
∴tan∠BPC＝tan60°=BCPC=12m2|m|=3，
∴m＝23或m＝﹣23（舍），
∴n=12m2−3＝3，
∴P点的坐标为（23，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
5．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）y=−12x2+92；
（2）①1；②C（﹣2，52）．
【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH=12AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，52）．
【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
0=9a+c4=a+c，解得a=−12c=92，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2+92；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y=−12x2+92的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
0=3k+b4=k+b，解得k=−2b=6，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH=12AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y=−12x2+92得：
﹣m+3=−12（2m﹣3）2+92，
解得m=12或m＝3（与P重合，舍去），
∴m=12，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3=52，
∴C（﹣2，52）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，52）
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，−12m+5），则BC=52|m|，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解答】解：（1）针对于直线y=−12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则−12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；
（2）设点C（m，−12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(−12m+5−5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=−14b=52，
∴抛物线y=−14x2+52x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=−12x+5中，得y=−12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴−110＜a＜0；
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．
7．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．
（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；
（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝1＞0，
故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1），
当x＞1，y随x的增大而增大，当x＜1，y随x增大而减小；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，
解得：t＝0或3，
故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；
②当OC∥AB时，
∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），
∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），
∵四边形OABC是梯形，
∴直线x＝m在y轴左侧，
∵BC与OA不平行，
∴OC∥AB，
又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），
∴m＝﹣1，
故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的；
当OB∥AC时，
同理可得：抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，
当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，
综上，新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．
【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．
8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=−12（x﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，92−t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，92−t），然后把P（2+t，92−t）代入y=−12x2+2x+52得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，52），D点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2＝8当m＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2＝8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，52）代入y=−12x2+bx+c得−12−b+c=0c=52，解得b=2c=52，
∴抛物线解析式为y=−12x2+2x+52；
（2）∵y=−12（x﹣2）2+92，
∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，92−t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，92−t），
把P（2+t，92−t）代入y=−12x2+2x+52得−12（2+t）2+2（2+t）+52=92−t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，52），D点坐标为（2，52），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，
而P点（4，52）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，12•（m+52+2）•2＝8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；
当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2＝8，解得m=−72，此时M点坐标为（0，−72）；
综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，−72）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）=52时，求OE的长．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）（﹣2，﹣5）；
（3）293．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴为直线x=−b2a=1，列方程组求出a、b的值；
（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；
（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为52的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．
【解答】解：（1）根据题意，得a−b+3=0−b2a=1，解得a=−1b=2，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，
∴y＝x+3；
当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，
设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，
∴y＝x﹣3．
由y=x−3y=−x2+2x+3，得x1=−2y1=−5，x2=3y2=0，
∴P（﹣2，﹣5）．
（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使HFPH=tan∠HPF=52，连接PF．
由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），
∴OB＝OG＝3．
∵PH∥OG，
∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，
∴∠HPF＝45°+∠FPB；
∵tan（∠PBO+∠PEO）=52，
∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，
∴∠PEO＝∠FPB，
又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），
∴△PBE∽△FBP，
∴PBFB=BEPB，BE•BF＝PB2，
∵HF=52PH=52×5=252，
∴BF=252−2﹣3=152，
又∵PH＝BH＝5，
∴PB2＝52+52＝50，
∴152BE＝50，
解得BE=203，
∴OE＝3+203=293．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函的解析式、用解方程组的方法求直线与抛物线的交点以及相似三角形的判定与性质等知识和方法，解题关键是正确地作出辅助线，构造出解题所需的图形．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A、B两点，且点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求线段AB的长；
（2）把抛物线C1向右平移3个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为点E．如果点A、D、E在同一直线上，求抛物线C1的表达式；
（3）当四边形ABCD的面积为9时，若点P是x轴上一点（点P不与点B重合），且△ACP与△ABC相似，求点P的坐标．
【答案】（1）4；
（2）y=−27x2−47x+67；
（3）P（32，0）．
【分析】（1）令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，则x＝﹣3或1，即可求解；
（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4a），则平移后的抛物线表达式为：y＝a[（x﹣2）2+4]+4，则点E（2，﹣4a+4），由点D、A的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2a（x+3），将点E的坐标代入上式，即可求解；
（3）点P不与点B重合且△ACP与△ABC相似，则存在△ABC∽△ACP，即AP：AC＝AC：AB，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，则x＝﹣3或1，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），
则AB＝4；
（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4a），
则平移后的抛物线表达式为：y＝a[（x﹣2）2+4]+4，则点E（2，﹣4a+4），
由点D、A的坐标得，直线AD的表达式为：y＝﹣2a（x+3），
将点E的坐标代入上式得：﹣4a+4＝﹣2a×7，则a=−23，
则函数的表达式为：y=−23[（x﹣2）2+4]+4=−23x2−43x+2；
（3）直线AC的表达式为：y＝﹣a（x+3），
由抛物线的表达式知，点D（﹣1，﹣4a），
作DH∥y轴交AC于点H，则H（﹣1，﹣2a），
则四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD=12×AO•DH+12×AB•OC=12×4×(−3a)+12×3×(−2a)=9，
则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
则点C（0，3）、D（﹣1，4），
则AB＝4，AC＝32，
∵点P不与点B重合且△ACP与△ABC相似，则存在△ABC∽△ACP，即AP：AC＝AC：AB，
即AP：32=32：4，则AP＝4.5，
则点P（32，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
11．已知：在直角坐标系中直线y＝ax+b与x轴、y轴相交于点A、B．当ax+b的值小于0时，x的值大于4，且该直线与x轴的夹角为45°．抛物线y=−12x2+bx+c经过点A和点B．
（1）【问题提出】如何求抛物线解析式
观察条件“当ax+b的值小于0时，x的值大于4”，可得当直线小于4时，x的值 大于 （选填“大于”或“小于”）0，该条直线的大致图象可能是B （选填“A”或“B”），其中与x轴交点A的坐标为 （4，0） ．继续阅读条件，“该直线与x轴的夹角为45°”告诉我们其与y轴的交点的坐标B是 （0，4） ，代入抛物线，列出方程组 −12×16+4b+c=0c=4 ，解得b＝ 1 ，c＝ 4 ．
（2）【综合运用】
P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．
【答案】（1）大于，B，（4，0），（0，4），−12×16+4b+c=0c=4，1，4；
（2）P（22，0）．
【分析】（1）根据图中直接可得前四个空的答案，再将点A和B的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可解答；
（2）设点P的坐标为（t，0），证明△AOB，△OPQ是等腰直角三角形，则OP＝OQ＝t，再证明四边形OPDQ是正方形，得D（t，t），代入抛物线的解析式即可解答．
【解答】解：（1）“当ax+b的值小于0时，x的值大于4”，可得当直线小于4时，x的值大于0，该条直线的大致图象可能是B（选填“A”或“B”），其中与x轴交点A的坐标为（4，0），与y轴的交点的坐标B是（0，4），
将A（4，0），B（0，4）代入抛物线y=−12x2+bx+c中得：−12×16+4b+c=0c=4，
解得：b=1c=4；
故答案为：大于，B，（4，0），（0，4），−12×16+4b+c=0c=4，1，4；
（2）设点P的坐标为（t，0），
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PQ∥AB，
∴∠OPQ＝∠OAB＝45°，
∴△OPQ是等腰直角三角形，
∴OP＝OQ＝t，
由折叠得：OP＝PD＝t，OQ＝DQ＝t，
∴OP＝OQ＝PD＝DQ，
∵∠POQ＝90°，
∴四边形OPDQ是正方形，
∴D（t，t），
∵点D在抛物线上，
∴−12t2+t+4＝t，
解得：t=±22，
∴P（22，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，正方形的性质和判定，等腰直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
12．在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线y=−12x2+mx−12m2+m+1与y轴交于点B．
（1）如果抛物线经过点（2，﹣1），且不经过第二象限，求抛物线的表达式；
（2）如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值；
（3）点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线CA方向平移，点A、B、C的对应点分别为点A′、B′、C′，线段B′C′与线段AB交于点D，如果tan∠A′DB′＝4，S△ADC′S△ABC=19，求点A的坐标．
【答案】（1）y=−12x2+6x﹣11；
（2）m＝﹣1或m＝1−3；
（3）A（83，113）．
【分析】（1）将（2，﹣1）代入求出m值，再依据题意取舍即可；
（2）根据增减性可知m＜0，由物线与y轴肯定会有一个交点，所以可以分为两种情况讨论，进而求解即可；
（3）记原抛物线对称轴与BC的交点为N，平移后抛物线对称轴与B'C'的交点为M，先求出顶点A（m，m+1），B(0，−12m2+m+1)，C(2m，−12m2+m+1)，由平移的性质可得△ADC'∽△ABC，那么C′DBC=13，则C'D=23m，MD＝MC'﹣DC'=13m，再由tan∠A′DB′=A′MDM=4列式计算即可．
【解答】解：（1）将（2，﹣1）代入y=−12x2+mx−12m2+m+1得，
﹣1＝﹣2+2m−12m2+m+1，
解得m＝0或m＝6，
∵抛物线不经过第二象限，
∴m＝6，
∴抛物线的表达式为y=−12x2+6x﹣11；
（2）∵抛物线开口向上，要满足在y轴右侧是下降的，
∴对称轴为x=−b2a=m＜0，
因为抛物线与y轴肯定会有一个交点，所以可以分为两种情况讨论：
①当抛物线经过原点时，将（0，0）代入得，
−12m2+m+1＝0，
解得m＝1±3，
∴m＝1−3，且此时Δ＞0，符合题意；
②当抛物线与x轴只有一个交点时，
令−12x2+mx−12m2+m+1＝0，
则Δ＝m2﹣4×（−12）×（−12m2+m+1）＝2m+2＝0，
解得m＝﹣1；
综上，m＝﹣1或m＝1−3；
（3）记原抛物线对称轴与BC的交点为N，平移后抛物线对称轴与BC的交点为M，
∵y=−12x2+mx−12m2+m+1=−12(x−m)2+m+1，
∴顶点A（m，m+1），
当x＝0，y=−12m2+m+1，
∴B(0，−12m2+m+1)，
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，
∴C(2m，−12m2+m+1)，
∵将抛物线沿着射线CA方向平移，点A、B、C的对应点分别为点A'、B'、C'，
∴BC＝B'C'，BC∥B'C'，
∴△ADC'∽△ABC，
∴（C′DBC）2=19，
∴C′DBC=13，
∵BC＝B'C'＝2m，
∴C'D=23m，
∴MC′=12B′C′=m，
∴MD=MC′−DC′=13m，
∴tan∠A′DB′=A′MDM=4，
∴m+1−(−12m2+m+1)13m=4，
解得：m=83或m＝0（舍），
∴A(83，113)．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质与性质以及综合运用各知识点进行求解．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c（c＞0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D．
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'．
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式．
【答案】（1）顶点P的坐标为（2，4+c），点D的坐标为（−c2，0）；（2）①该抛物线向左平移52个单位，向下平移5个单位；②原抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5．
【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为 （2，4+c），利用待定系数法求得直线PC的解析式，据此求解即可；
（2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n），得到新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n，利用待定系数法求得直线P'P的解析式y=nmx+4+c−2nm，推出直线P'P与直线PC重合，得到H＝2，由题意得到∠CP'E＝90°，利用勾股定理列式计算求得m=−52据此即可求解；
②根据题意求得点A'的坐标为(2+4+c−52，−5)，根据DA'被y轴平分，得到xA+xD2=0据此求解即可．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴顶点P的坐标为（2，4+c），
当x＝0时，y＝c，
∴点C的坐标为（0，c），
设直线PC的解析式为y＝kx+c，
∴2k+c＝4+c，解得k＝2，
∴直线PC的解析式为y＝2x+c，
当y＝0时，0＝2x+c，
解得x=−c2，
∴点D的坐标为（−c2，0）；
（2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n），
∴y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n，
当x＝0时，y'＝﹣m2﹣4m+c+n，
∴点E的坐标为（0，﹣m2﹣4m+c+n），
设直线P'P的解析式为y＝k1x+b1，
∴2k1+b1=4+c(2+m)k1+b1=4+c+n，
解得k1=nmb=4+c−2nm，
∴直线P'P的解析式为y=nmx+4+c−2nm，
顶点P'落在线段PC的延长线上，
∴直线P'P与直线PC重合，
∴nm=2，
∵P'E⊥P'P，
∴△CP'E是直角三角形，且∠CP'E＝90°，
∴CP2+EP2＝CE2，
∴CP2＝（2+m）2+（4+c+n﹣c）2＝（2+m）2+（4+2m）2，
EP2＝（2+m）2+（4+c+n+m2+4m﹣c﹣n）2＝（2+m）2+（m2+4m+4）2，
CE2＝（c+m2+4m﹣c﹣n）2＝（m2+4m﹣2m）2＝（m2+2m）2，
即（2+m）2+（4+2m）2+（2+m）2+（m2+4m+4）2＝（m2+2m）2，
解得m=−52，
∴n＝﹣5，
∴该抛物线向左平移52个单位，向下平移5个单位；
②当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+4+c，
解得x=2±4+c，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为(2+4+c，0)，
∴点A的坐标为(2+4+c−52，−5)，
又∵D(−c2，0)，且DA'被y轴平分，
∴xA+xD2=0，
∴2+4+c−52+(−c2)=0，
解得c＝5或﹣3，
∵c＞0，
∴c＝5，
∴原抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5．
【点评】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；
（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD．当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）y＝﹣x+5；
（3）52或56．
【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；
（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，
∴−m−2=3−25+5m+n=0，
∴m=6n=−5，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，
∴抛物线顶点B坐标为（3，4），
由△BOE的面积为3得12BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵点E在线段BC上，
∴点E坐标为E（3，2），
把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，
5k+b=03k+b=2，
∴k=−1b=5，
∴直线的表达式为y＝﹣x+5；
（3）如图，①若BD∥OE，
∵BD＝EO，
∴四边形OEBD为平行四边形，
则点D坐标为（0，2），
连接DA，
∴ct∠DAO=OADO=52；
②若BD不平行OE，如图D′，
则四边形OEBD′为等腰梯形，
作BF⊥y轴于F，则D′F＝DF＝2，
∴点D′坐标为（0，6），
连接D′A，
∴ct∠D′AO=AOD′O=56，
综上所述，此时∠DAO的余切值为52或56．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．
15．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．
（1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出点M坐标，M'的坐标，代入解析式可求解；
（2）先求出点C坐标，C'的坐标，利用回归点的定义可求解；
（3）通过证明△CEF∽△CDE，可得CFCE=CECD，可求CF＝10，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线，
理由如下：∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，
∴y＝﹣4+4+4＝4，
∴点M（2，4），
∴点M关于坐标原点O的对称点M'（﹣2，﹣4），
当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣4+4＝﹣4，
∴点M'在抛物线上，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线；
（2）∵点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，
∴点C（﹣1，c+1），
∴点C关于原点O的对称点C'（1，﹣c﹣1），
∵点C是这条抛物线的回归点，
∴﹣c﹣1＝﹣1﹣2+c，
∴c＝1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+1；
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+1，
∴对称点为x＝﹣1，
∴点D（﹣1，0），点C（﹣1，2），
∴直线CO解析式为y＝﹣2x，
联立方程组y=−x2−2x+1y=−2x，
∴x1=1y2=−2，x2=−1y2=2，
点E（1，﹣2），
在△CEF和△CDE中，∠CFE＝∠CED，∠FCE＝∠ECD，
∴△CEF∽△CDE，
∴CFCE=CECD，
∴CE2＝CD•CF，
∴（﹣1﹣1）2+（2+2）2＝2CF，
∴CF＝10，
∴F（﹣1，﹣8）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义并运用是解题的关键．
16．定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标满足条件（t，at2），那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线y＝2x2﹣4x+4的顶点坐标为（1，2），此时由于t＝1，a＝2，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
（1）如果抛物线C1：y＝x2+4x+m是“优雅”抛物线，求m的值．
（2）如图，把（1）中的抛物线C1向下平移得到抛物线C2，抛物线C2与y轴负半轴交于点B，顶点为点C，对称轴与x轴交于点A．
①点E在CB延长线上，点D是x轴上一点，且四边形ABDE是矩形，求点E的坐标．
②如果抛物线C3：y＝2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，抛物线C2与C3交于点M，且AM∥BC，求抛物线C2的解析式．
【答案】（1）m＝8；
（2）①E（1+5，1+5）；②y＝（x+2）2﹣8．
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，则顶点坐标为：（﹣2，4），即可求解；
（2）①由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+4+k，四边形ABDE是矩形，由函数的对称性知，yE＝﹣yB＝﹣4﹣k，则点E（﹣k﹣4，﹣k﹣4），由点A、E的坐标得，直线AE表达式中的k值为：k+4k+2，而直线AB表达式中的k值为：k+42，
由AB⊥AE得：k+4k+2×k+42=−1，即可求解；
②AM∥BC，则直线AM的表达式为：y＝2（x+2），联立上述两个函数表达式得：2x2＝2（x+2），则x＝﹣1（舍去）或2，即点M（2，8），进而求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，则顶点坐标为：（﹣2，4），
即y＝（x+2）2+4＝x2+4x+8，即m＝8；
（2）①由（1）知，点A（﹣2，0），设新抛物线的表达式为：y＝（x+2）2+k，
则点B（0，4+k），点C（﹣2，k），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2x+4+k，
∵四边形ABDE是矩形，由函数的对称性知，yE＝﹣yB＝﹣4﹣k，
则点E（﹣k﹣4，﹣k﹣4），
由点A、E的坐标得，直线AE表达式中的k值为：k+4k+2，
而直线AB表达式中的k值为：k+42，
由AB⊥AE得：k+4k+2×k+42=−1，
则k＝﹣5+5（舍去）或﹣5−5，
则点E（1+5，1+5）；
②抛物线C3：y＝2x2+px+q为“优雅”抛物线，它的顶点G在x轴上，
则顶点坐标为：（0，0），
则该抛物线的表达式为：y＝2x2，
∵AM∥BC，则直线AM的表达式为：y＝2（x+2），
联立上述两个函数表达式得：2x2＝2（x+2），则x＝﹣1（舍去）或2，
即点M（2，8），
将点M的坐标代入y＝（x+2）2+k得：8＝（2+2）2+k，则k＝﹣8，
即C2的解析式y＝（x+2）2﹣8．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，5），抛物线顶点P在第一象限且在直线l：y=12x上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）向上平移直线l，交抛物线于C、D两点（C在D左侧），当CD＝OP时，求C点坐标；
（3）将抛物线向右平移m个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点M，顶点为N，如果MN⊥l，求m的值．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+5；
（2）点C（54，2516）；
（3）m＝4．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）平移后C、D的横坐标差为2，纵坐标差为1，设点C（m，m2﹣4m+5），则点D（m+2，m2﹣4m+5+1），将点D的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝（x﹣2﹣m）2+1，则点N（m+2，1），联立2个抛物线的表达式得：（x﹣2）2+1＝（x﹣2﹣m）2+1，即可求解．
【解答】解：（1）设点P（m，12m），则抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2+12m，
将点A的坐标代入上式得：5＝（0﹣m）2+12m，则m＝2（不合题意的值已舍去），
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣4x+5；
（2）∵PO2＝5＝CD2，
∴平移后C、D的横坐标差为2，纵坐标差为1，
设点C（m，m2﹣4m+5），则点D（m+2，m2﹣4m+5+1），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：m2﹣4m+5+1＝（m+）2﹣4（m+2）+5，
解得：m=54，则点C（54，2516）；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝（x﹣2﹣m）2+1，则点N（m+2，1），
联立2个抛物线的表达式得：（x﹣2）2+1＝（x﹣2﹣m）2+1，
解得：x=m+42，则点M（m+42，14m2+1），
由点NM的坐标得，直线MN表达式中的k值为−12m，
∵MN⊥l，则−12m＝﹣2，则m＝4．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C（m，﹣1）在直线y＝﹣x+2上，已知抛物线y＝x2﹣2kx+k2﹣1（k为常数），抛物线与x轴的两个交点为点E、点F（其中点E在点F左侧），顶点为D．
（1）若抛物线经过点C，求抛物线的表达式；
（2）求证：△DEF的面积是一个定值，并求出这个值；
（3）已知点N(35，0)，抛物线的顶点D恰好落在∠CNO的平分线上，点G在抛物线上，若四边形DEGF为梯形，求点G的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+8；
（2）△DEF的面积为1是定值；证明见解答；
（3）点G（125，3）或（−85，3）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△DEF的面积公式，即可求解；
（3）当DF∥EG时，由点D、F的坐标得，直线DF表达式中的k值为1，则直线GE的表达式为：y＝x+35，当DE∥GF时，同理可得，直线GF的表达式为：y＝﹣x+75，分别联立GE、GF和抛物线的表达式得：x2−45x−2125=−x+75或x2−45x−2125=x+35，即可求解．
【解答】（1）解：将点C的坐标代入一次函数表达式得：﹣1＝﹣m+2，则m＝3，即点C（3，﹣1），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：9﹣6k+k2＝0，则k＝3，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+8；
（2）证明：设点E、F的横坐标分别为m，n，则m+n＝2k，mn＝k2﹣1，则点D（k，﹣1），
则EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4k2﹣4k2+4＝4，则EF＝2，
则△DEF的面积=12×EF×|yD|=12×2×1=1为定值；
（3）解：如图，∵D恰好落在∠CNO的平分线上，
则∠END＝∠CDN，
∵点C、D的纵坐标相同，则CD∥EF，则∠CDN＝∠END，
则∠CDN＝∠CND，则CD＝CN，即（k﹣3）2＝（35−3）2+1，
解得：k=25（不合题意的值已舍去），
则抛物线的表达式为：y＝x2−45x−2125，则点E、F的坐标分别为：（−35，0）、（75，0），D（25，﹣1）；
当DF∥EG时，
由点D、F的坐标得，直线DF表达式中的k值为1，则直线GE的表达式为：y＝x+35，
当DE∥GF时，
同理可得，直线GF的表达式为：y＝﹣x+75，
分别联立GE、GF和抛物线的表达式得：x2−45x−2125=−x+75或x2−45x−2125=x+35，
解得：x=−85或125（不合题意的值已舍去），
即点G（125，3）或（−85，3）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的开口向下，与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C．直线x＝m（0＜m＜3）交抛物线于点P．
（1）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
①求此时抛物线的表达式；
②如果∠CPB＝90°，求点P的横坐标；
（2）如果点P关于直线BC的对称点恰好是△AOC的重心G，求a的值．
【答案】（1）①y＝﹣x2+2x+3；②1+52；
（2）a=−3−156．
【分析】（1）①根据题意列出方程组求解即可；②过P构造一线三垂直相似求解即可；
（2）由题可得A（1a，0），再根据重心的性质可得G（13a，1），构造Rt△BPL，过G作GK⊥x轴于点K，易得BG＝PG，∠GKB＝∠PLB＝90°，∠GBK＝∠LBP，证△BGK≌△BPL（AAS），根据等线段建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题可知−b2a=19a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
②令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
如图，过P作MN∥x轴，交y轴于点M，过B作BN∥y轴，交MN于点N，
则∠PMC＝∠N＝90°，
∵∠CPB＝90°，
∴∠CPM＝∠PBN＝90°﹣∠BPN，
∴△PMC∽△BNP，
∴PMBN=CMPN，
∵P（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝m，CM＝﹣m2+2m，PN＝3﹣m，BN＝﹣m2+2m+3，
∴m−m2+2m+3=−m2+2m3−m，
整理得m2﹣m﹣1＝0，
解得m=1±52，
∵0＜m＜3，
∴m=1+52，
即点P的横坐标为1+52；
（2）如图，构造Rt△BPL，过G作GK⊥x轴于点K，
∵B（3，0）在y＝ax2+bx+3上，
∴9a+3b+3＝0，
∴b＝﹣3a﹣1，
∴y＝ax2﹣（3a+1）x+3＝（ax﹣1）（x﹣3），
∴A（1a，0），
由重心的性质可得GK=13OC＝1，OK=13OA=−13a，
∴G（13a，1），
根据对称可知∠PBC＝∠GBC，PB＝GB，
∵OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，∠NBC，
∴∠GBK＝∠LBP，
∵BG＝PG，∠GKB＝∠PLB＝90°，
∴△BGK≌△BPL（AAS），
∴PL＝GK＝1，BK＝BL，
∴xP＝OB﹣PL＝2，
∴yP＝4a﹣2（3a+1）+3＝1﹣2a，即BL＝1﹣2a，
∵BK＝OB+OK＝3−13a，
∴3−13a=1﹣2a，
整理得6a2+6a﹣1＝0，
解得a=−3−156（正值舍去）．
【点评】本题主要考查了二次函数表达式及与坐标轴交点问题、相似三角形的判定和性质、三角形的重心等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．已知平面直角坐标系xOy，抛物线M1：y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，设抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P．
（1）求抛物线M1的表达式；
（2）当点P与点A重合时，求平移的距离；
（3）联结AD，如果∠ADP与∠ACB互补，求点D的坐标．
【答案】（1）y=−12x2+x+4；
（2）3；
（3）D（1，﹣3）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）设平移的距离为d，对称轴直线x＝1交x轴于点H，则抛物线M2的表达式为y=−12（x﹣1）2+92−d，由tan∠EAO＝tan∠DAH，得OEOA=DHAH，即4−d2=92−d3，即可求得d＝3；
（3）连接CF，过点A作AG⊥x轴于点A，交BC的延长线于点G，过点C作CK⊥FH于K，由平移可证得四边形CEDF是平行四边形，可得∠CED＝∠CFD，即tan∠CED＝tan∠CFD＝2，推出OP＝2OE，进而求得tan∠OPE=OEOP=OE2OE=12，在Rt△OAC中，tan∠OCA=OAOC=24=12，则∠OCA＝∠OPE，再结合∠ADP与∠ACB互补，得出∠GCA＝180°﹣∠ACB＝∠ADP，证得△GCA∽△ADP，得出∠DAP＝∠G＝45°，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线M1：y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，4），
∴4a−2+c=0c=4，
解得：a=−12c=4，
∴抛物线M1的表达式为y=−12x2+x+4；
（2）∵y=−12x2+x+4=−12（x﹣1）2+92，
∴抛物线M1的对称轴直线x＝1，顶点为F（1，92），
由题意，把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，当点P与点A重合时，设平移的距离为d，对称轴直线x＝1交x轴于点H，如图，
∴抛物线M2的表达式为y=−12（x﹣1）2+92−d，
∴抛物线M2的顶点为D（1，92−d），H（1，0），
∴DH=92−d，AH＝1﹣（﹣2）＝3，
当x＝0时，y=−12（0﹣1）2+92−d＝4﹣d，
∴E（0，4﹣d），
∴OE＝4﹣d，OA＝2，
∵∠AOE＝∠AHD＝90°，∠EAO＝∠DAH，
∴tan∠EAO＝tan∠DAH，
∴OEOA=DHAH，即4−d2=92−d3，
解得：d＝3，
∴当点P与点A重合时，平移的距离为3；
（3）连接CF，过点A作AG⊥x轴于点A，交BC的延长线于点G，过点C作CK⊥FH于K，如图，
∵A（﹣2，0），F（1，92），C（0，4），对称轴为直线x＝1，
∴OA＝2，AH＝3，OC＝4，FH=92，四边形COHK是矩形，
∴CK＝OH＝1，KH＝OC＝4，FK＝FH﹣KH=92−4=12，
∴tan∠CFK=CKFK=112=2，即tan∠CFD＝2，
∵抛物线M1：y=−12x2+x+4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，
当y＝0时，−12x2+x+4＝0，
解得：x＝﹣2或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵把抛物线M1向下平移得到抛物线M2，抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，
∴CE＝FD，
∵抛物线的对称轴与x轴平行，即FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴∠CED＝∠CFD，
∴tan∠CED＝tan∠CFD＝2，
∴OPOE=2，
∴OP＝2OE，
∴tan∠OPE=OEOP=OE2OE=12，
在Rt△OAC中，tan∠OCA=OAOC=24=12，
∴∠OCA＝∠OPE，
∵AG⊥x轴，
∴AG∥y轴，
∴∠OCA＝∠CAG，∠G＝∠OCB＝45°，
∴∠CAG＝∠DPA，
∵∠ADP与∠ACB互补，即∠ADP+∠ACB＝180°，
∴∠GCA＝180°﹣∠ACB＝∠ADP，
∴△GCA∽△ADP，
∴∠DAP＝∠G＝45°，
∴DH＝AH•tan∠DAP＝3×tan45°＝3，
∴D（1，﹣3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题关键．
课后巩固 · 针对性练习
1．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将该抛物线沿射线CB方向平移，点A、B的对应点分别是点A′、B′，且△A′BB′的面积比△ABC的面积大3．
①求新抛物线的对称轴方程；
②P是新抛物线上一点，如果∠PB′B＝∠ACB，求点P的坐标．
【答案】（1）y=12x2﹣x﹣4；
（2）①x＝6；②P（2，172）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由12×A′B′×m−12×AB×4＝3，即12×6×m−12×6×4=3，则m＝5，即可求解；
②设AC和PB′交于点R，∠PB′B＝∠ACB，则RC＝RB′，求出点R（﹣9，14），即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4＝OB，则点B（4，0），
将点B的坐标代入抛物线的表达式得：0＝16a﹣8a﹣4，则a=12，
故抛物线的表达式为：y=12x2﹣x﹣4；
（2）①由抛物线的表达式知，点A（﹣2，0），则AB＝6，
如图，设抛物线沿射线CB方向平移，向右平移了m个单位向上平移了m个单位，
则点B′（4+m，m），而A′B′＝AB＝6，
则12×A′B′×m−12×AB×4＝3，即12×6×m−12×6×4=3，
则m＝5，
则新抛物线的对称轴方程为x＝1+5＝6；
②由①知，点B′（9，5），新抛物线的表达式为：y=12（x﹣5）2﹣（x﹣5）﹣4+5；
设AC和PB′交于点R，
∵∠PB′B＝∠ACB，则RC＝RB′，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣4，
设T为B′、C的中点，则点T（92，12），
则RT为B′C的中垂线，则直线RT的表达式为：y＝﹣（x−92）+12，
联立上式和AC的表达式得：﹣2x﹣4＝﹣（x−92）+12，
解得：x＝﹣9，
即点R（﹣9，14），
由B′R的坐标得，直线B′R的表达式为：y=−12（x﹣9）+5，
联立上式和抛物线的表达式得：12（x﹣5）2﹣（x﹣5）﹣4+5=−12（x﹣9）+5，
解得：x＝9（舍去）或2，
即点P（2，172）．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，D是线段OA上一点．
（1）求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴，交该抛物线于点G，当∠DGA＝∠DGC时，求△GAC的面积；
（3）点P为该抛物线上第三象限内一点，当OD＝1，且∠DCB+∠PBC＝45°时，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，点C（0，﹣3）；
（2）158；
（3）点P（﹣1，﹣4）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当∠DGA＝∠DGC时，则直线AG和GC关于GD对称，即可求解；
（3）利用S△CBD=12×BD×OC=12×CD×BH，求出BH=610，利用∠HNB＝45°，得到BN=2BH=65，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，
由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）；
（2）设点G（m，m2+2m﹣3），
由点A、G的坐标得，直线AG的表达式为：y＝（m﹣1）（x+3），
同理可得：直线GC的表达式为：y＝（m+2）x﹣3，
当∠DGA＝∠DGC时，
则直线AG和GC关于GD对称，
故（m﹣1）+（m+2）＝0，
解得：m=−12，
则点G（−12，−154），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
设直线AC交DG于点T，则点T（−12，−52），
则GR=−52+154=54，
则△GAC的面积=12×GR×AO=12×54×3=158；
（3）由点B、C、D的坐标得，BC=10=CD，
过点B作BH⊥CD于点H，设BP交CD于点N，
而S△CBD=12×BD×OC=12×CD×BH，
即2×3=10×BH，
则BH=610，
∵∠DCB+∠PBC＝45°，即∠HNB＝45°，
则BN=2BH=65，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝﹣3x﹣3，
设点N（m，﹣3m﹣3），
则BN2＝（m﹣1）2+（﹣3m﹣3）2＝（65）2，
解得：m=−75（舍去）或−15，
则点N（−15，−125），
由点B、N的坐标得，BN的表达式为：y＝2x﹣2，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝2x﹣2，
解得：x＝1（舍去）或﹣1，
即点P（﹣1，﹣4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其对称轴为x＝﹣1，点A的坐标为（2，0），点D(−3，52)在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点P在y轴上，且点P在C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求当MNOM取最大值时，点A，D，N围成的三角形的面积．
【答案】（1）y=−12x2−x+4；
（2）P(0，32)；
（3）12516．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，证明△PFD≌△EGP（AAS），设P（0，t）（0＜t＜4），进而求出E点坐标，求出直线CD的解析式，把E点坐标代入，进而求出t的值，即可；
（3）过点N作NH∥y轴交DM于H，连接DN，AN，证明△MNH∽△MOQ，得到MNOM=NHOQ，进而推出当NH最大时，MNOM取最大，设N(n，−12n2−n+4)(−3＜n＜0)，则H(n，−12n+1)，利用二次函数的性质求出NH的值最大时，n的值，进一步求解即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（2，0），点D(−3，52)在抛物线上．将点A，点D的坐标代入得：
4a+4a+c=09a−6a+c=52，
解得a=−12c=4，
∴所求的抛物线解析式为y=−12x2−x+4；
（2）如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，则：∠F＝∠DPE＝∠G＝90°，
∴∠DPF＝∠PEG＝90°﹣∠EPG，
∵∠PDC＝45°，∠DPE＝90°，
∴△DPE为等腰直角三角形，
∴DP＝EP，
∴△PFD≌△EGP（AAS），
∵点P在y轴上，在C的下方，
∴设P（0，t）（0＜t＜4），
∵点D(−3，52)，C(0，4)，
∴PF=3，DF=52−t，
又∵△PFD≌△EGP，
∴EG=PF=3，PG=DF=52−t，
∴E(52−t，t+3)，
设直线CD的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把D(−3，52)，代入，得：k=12，
∴y=12x+4，
把E代入：t+3=12(52−t)+4，
解得t=32，
∴P(0，32)；
（3）过点N作NH∥y轴交DM于H，连接DN，AN，
∵NH∥y轴，
∴△MNH∽△MOQ，
∴MNOM=NHOQ，
同（2）法可求直线AD的解析式为：y=−12x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
∴Q（0，1），
∴OQ＝1，
∴MNOM=NH1=NH，
要使MNOM取最大，则NH取最大，
∴可设N(n，−12n2−n+4)(−3＜n＜0)，则H(n，−12n+1)，
∴NH=−12n2−n+4−(−12n+1)
=−12n2−12n+3
=−12(n+12)2+258，
∵−12＜0，−3＜−12＜0，
∴当n=−12时，NH有最大值258，
∴S△ADN=12×NH×(xA−xD)
=12×258×[2−(−3)]
=12×258×5
=12516．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
4．如图，直线y＝﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=12x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．
【答案】（1）y=12x2−32x−2；
（2）P（1，﹣3）或（5，3）；
（3）E的对称点坐标为(95，−185)，(4.2，−0.4)．
【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=12x2+bx+c即可得到结论；
（2）由y=12x2−32x−2求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE＝PE，列方程即可得到结论；
（3）分为①当P点在直线BD的上方时，②当P点在直线BD的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可．
【解答】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=12x2+bx+c得：
−2=12×9+3b+c0=12−b+c，
∴b=−32c=−2，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
（2）设P(m，12m2−32m−2)，
在y=12x2−32x−2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∵B（3，﹣2），
∴BD∥x轴，
∵PE⊥BD，
∴E（m，﹣2），
∴DE=|m|，PE=12m2−32m−2+2或PE=−2−12m2+32m+2，
∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED＝90°，
∴DE＝PE，
∴|m|=12m2−32m或|m|=−12m2+32m，
解得：m＝5，m＝1，m＝0（不合题意，舍去），
∴PE＝5或1，
∴P（1，﹣3）或（5，3）；
（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，
由（2）知，此时，E（5，﹣2），
∴DE＝5，
∴BE′＝BE＝2，
∵EE′⊥AB，EE′＝2EF，
∴∠BEF＝∠DAB＝∠HEE′，
∴tan∠BEF＝tan∠DAB＝tan∠HEE′，
∵AD＝6，DB＝3，
∴tan∠BEF=tan∠DAB=tan∠HEE′=12，
∴2BF＝EF，2HE′＝HE，
∴在Rt△BEF中，BF2+EF2＝BE2，BF2+（2BF）2＝22，
解得：BF=255，
∴EF=455，EE′=855，
在Rt△HEE′中，HE′2+HE2＝EE2，即HE′2+（2HE′）2＝EE′2，
解得：HE′=85，
故点E′的纵坐标为−2−85=−185，横坐标为DH=DE−HE=5−2×85=95，
∴E′(95，−185)；
②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，
由（2）知，此时，E（1，﹣2），
∴DE＝1，
∴BE′＝BE＝2，
∵EE′⊥AB，EE′＝2EF，
∴∠BEF＝∠DAB＝∠HEE′，
∴tan∠BEF＝tan∠DAB＝tan∠HEE′，
∵AD＝6，DB＝3，
∴tan∠BEF=tan∠DAB=tan∠HEE′=12，
∴2BF＝EF，2HE′＝HE，
∴在Rt△BEF中，BF2+EF2＝BE2，BF2+（2BF）2＝22，
解得：BF=255，
∴EF=455，EE′=855，
在Rt△HEE′中，HE′2+HE2＝EE2，即HE′2+（2HE′）2＝EE′2，
解得：HE′=85，
故点E′的纵坐标为−2+85=−25=−0.4，横坐标为DH=DE+HE=1+2×85=215=4.2，
∴E′（4.2，﹣0.4），
综上所述，E的对称点坐标为(95，−185)，(4.2，−0.4)．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴正半轴交于点C，顶点为P．
（1）求PC的长；
（2）当AC⊥PC时，求抛物线的表达式；
（3）将该抛物线平移，新抛物线的顶点P1落在y轴上，与原抛物线交于点D，如果点P1与点C关于原点对称，且P1D∥PC，求△PP1C的面积．
【答案】（1）25；
（2）y＝﹣x2+4x+94；
（3）8．
【分析】（1）求出点P（2，c+4），即可求解；
（2）点C（0，c）、P的坐标得，直线CP的表达式为：y＝2x+c，∵AC⊥PC，则直线AC的表达式为：y=−12x+c，则点A（2c，0），即可求解；
（3）由点D、P1的坐标得，该直线表达式函数值中的k值为：12c，而直线CP的表达式为：y＝2x+c，P1D∥PC，则2=12c，则c＝4，即可求解．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝﹣x2+4x+c＝c+4，则点P（2，c+4），
由点C（0，c）、P的坐标得，CP2＝22+（c+4﹣c）2＝20，
则CP＝25；
（2）点C（0，c）、P的坐标得，直线CP的表达式为：y＝2x+c，
∵AC⊥PC，则直线AC的表达式为：y=−12x+c，则点A（2c，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4c2+8c+c，则c＝0（舍去）或94，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+94；
（3）点P1与点C（0，c）关于原点对称，则点P1（0，﹣c），
则新抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣c，
联立两个抛物线的表达式得：﹣x2+4x+c＝﹣x2﹣c，
解得：x=−12c，则点C（−12c，−14c2﹣c），
由点D、P1的坐标得，该直线表达式函数值中的k值为：12c，
而直线CP的表达式为：y＝2x+c，P1D∥PC，
则2=12c，则c＝4，
则△PP1C的面积=12×CP1×xP=12（2c）×2＝2c＝8．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到图象的平移，面积的计算，一次函数的图象和性质等，数形结合是解题的关键．
6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=49x2+bx+c经过原点，且与x轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB＝∠OBA，求点Q的坐标；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB＝3：4，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=43x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB＝QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标；
（3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得CFDE=BCBD=34，可得CF=34(3−m)，可得OC=4−CF=4−34(3−m)，可得关于m的方程，即可求m的值．
【解答】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线y=49x2+bx+c上
∴c=049×36+6b+c=0，
解得b=−83c=0
∴抛物线的解析式为y=49x2−83x=49（x﹣3）2﹣4，
∴顶点B的坐标是（3，﹣4）
（2）如图，
∵A（6，0），B（3，﹣4）
∴直线AB解析式为：y=43x﹣8
∵OP∥AB
∴直线OP解析式为：y=43x
设点Q（3k，4k），
∵∠OBA＝∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAB为梯形
又∵∠QAB＝∠OBA
∴四边形OQAB为等腰梯形
∴QA＝OB
∴（6﹣3k）2+（4k）2＝25
∴k=1125或k＝1（舍去）
∴Q(3325，4425)
（3）由（1）知y=49x2−83x=49(x−3)2−4
设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为y=49(x−3+m)2−4
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，﹣4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F
∴BCBD=BFBE=34，且∠BFC＝∠BED＝90°
∴△BCF∽△BDE
∴CFDE=BCBD=34
∴CF3−m=34
∴CF=34(3−m)
∴OC=4−CF=4−34(3−m)
又∵y=49(x−3+m)2−4
∴OC=4−49(3−m)2
∴4−34(3−m)=4−49(3−m)2
∴m1=2116或者m2＝3（舍去）
∴m=2116
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键．
模块
核心内容/方法
常见题型
二次函数解析式
待定系数法（一般式、顶点式、交点式）
已知点、顶点、对称轴、与坐标轴交点求解析式
平移变换
左加右减，上加下减；顶点平移规律
求平移后解析式，平移后交点、面积问题
等腰直角三角形
直角边相等、垂直、中点、勾股
已知直角顶点，求另一点坐标
梯形/平行四边形
对边平行（斜率相等），分类讨论
存在性求点坐标，判断形状
相似三角形
对应角相等或边成比例，注意对应顺序
求点坐标使三角形相似
角相等与三角比
正切值相等，斜率夹角公式
求满足∠1=∠2的点
翻折与旋转
对称轴垂直平分对应点连线，旋转90°构造全等
求对称点、旋转后坐标
面积最值
铅垂高法、割补法、二次函数最值
求面积最大值，定值问题
新定义问题
理解定义，转化为代数条件
回归抛物线、优雅抛物线、不动点