河南省平顶山市宝丰县九年级上学期12月期中数学试题（解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可，注意看不见的棱用虚线表示．
【详解】解：由图知，该几何体的左视图是，
故选：D．
2. 是成比例线段，其中，则线段的长可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了比例线段的定义．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将，及的值代入即可求得．
【详解】解：已知，，，是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，
解得：，
则．
故选：A．
3. 一元二次方程配方后可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记配方法的一般步骤．先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则四边形是正方形B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是菱形D. 若，则四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊平行四边形判定，熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定是解题的关键．根据矩形、菱形和正方形的判定，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：若，则四边形是矩形，不一定是正方形，故A选项错误，不符合题意；
若，则四边形是菱形，故B选项正确，符合题意；
若，则四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
若，则四边形是菱形，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
6. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A. 图象必经过点B. 随的增大而减小
C. 图象在第一、三象限内D. 图象关于坐标原点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可．
【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意；
B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误，符合题意；
C、，∴函数图象在一、三象限内，故本选项正确，不符合题意；
D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
7. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，先根据两点距离计算公式得到，再由矩形对角线相等即可得到．
【详解】解；如图所示，连接，
∵点的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：C．
8. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设到会的人数为x，则每个人都需要与人握一次手，再根据两人之间的握手只算做一次列出方程即可．
【详解】解：设到会的人数为x，
由题意得，，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
9. 用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键．
将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可．
【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下；
共有种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果，
∴配成紫色的概率是，
故选：C．
10. 如图，在中，，角平分线与中线交于点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、角平分线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．过点作于点，作于点，先求出，，再根据角平分线的性质定理可得，在中，解直角三角形可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
∵在中，，，，
∴，，
∵是的中线，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，是一张边长为的正方形二维码示意图，在其区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积约为__________．
【答案】2.8
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴落在黑色区域的概率约为0.7，
∴该二维码黑色部分的总面积约为．
故答案为：2.8．
12. 若关于方程有两个不相等的实数根，请写出一个的值使其符合条件：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴的值可以为0．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，分别以点、为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，已知，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是__________．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理；首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】根据题意可得，，
∴四边形是菱形，
∴设和交于点O，

∴，，
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：24．
14. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为______________
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．
过A作轴于C，过B作轴于D，，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
15. 如图，已知在三角形纸片中，．折叠纸片，使点A落在边上的点D处，折痕为（点E在上，点F在上）．若与相似．则折痕的长度等于___．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，先由勾股定理得到，由折叠的性质可得，，设，则，再分当时，，当时，，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程讨论求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，，
设，则，
∵，
∴当时，，
∴，即
解得，
∴，
∵，
∴三点共线，即此时点F与点C重合，
∴；
当时，，
∴，即，
解得，
∴，
由折叠的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴；
综上所述，或；
故答案为：或．
三、解答题（本题8小题，共75分）
16. 用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴，，，，
则，
所以，，．
【小问2详解】
解：
方程右边分解因式，得．
移项，得．
方程左边分解因式，得．
所以，得或．
所以，，．
17. 宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题：
（1）李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________；
（2）本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）
（2）见解析，恰好选到一名女生和一名男生的概率为
【解析】
【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：先将三个女生分别记作“女1”“女2”“女3”，再列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，
∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、都在格点（网格线的交点）上，点坐标为．
（1）在网格中画出，使它与的相似比为；
（2）与的周长比为__________，面积比为__________．
【答案】（1）见解析 （2）1：21：4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与作图知识点，解题的关键是掌握相似三角形的性质以及位似图形的画法．
（1）通过确定位似中心，根据相似比找出对应点，进而画出；
（2）根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方得出结果．
小问1详解】
以点为位似中心，将的各边扩大为原来的2倍来画．先分别连接，，并延长到，使，延长到，使，连接，则就是所求的与相似比为2∶1的三角形．
如图，即为所求．
【小问2详解】
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，因为与的相似比为1∶2，所以它们的周长比为1：2；相似三角形面积的比等于相似比的平方，由于相似比是1：2，那么面积比为．
故答案为：1：2，1：4
19. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）连接，若，则的长为__________．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由菱形，可得，，由，可得，可证四边形是平行四边形，由，即，可证四边形是矩形；
（2）由菱形，，，可得，，，如图，在取，使，连接，则是的中位线，，由勾股定理得，，，计算求解，进而可求．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形矩形；
【小问2详解】
解：∵菱形，，，
∴，，
∵菱形
∴，
如图，在取，使，连接，
∴是的中位线，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线等知识．熟练掌握菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，中位线的性质是解题的关键．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
（1）反比例函数表达式为____________________；一次函数表达式为____________________；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可；
（3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P的坐标为，利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，，
∴反比例函数解析式为，
一次函数图象过，，
∴，
解得，
一次函数解析式为；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由图象可知，不等式的解集为：或；
【小问3详解】
解：在一次函数中，当时，；当时，，
∴，
∴，
∴，
设点坐标，
∴，
解得，（不合题意，舍去）
∴点．
21. 2024年是农历甲辰龙年．网店老板小王近期购进一批进价89元的“龙年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售．由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个．为了尽快减少库存，小王决定降价促销．若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？
【答案】（1）每次上涨的百分率为
（2）销售单价应降低20元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每次上涨的百分率为，则第一次调整后的售价为元，第二次调整后的售价为元，由此列方程即可；
（2）设销售单价应降低元，根据进价、售价、销量、利润之间关系列方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设每次上涨的百分率为，
由题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每次上涨的百分率为．
【小问2详解】
解：设销售单价应降低元，根据题意，得
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：销售单价应降低20元．
22. 为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法．
（1）如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________；
（2）如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________；
（3）如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度．
【答案】（1）
（2）
（3）旗杆的高度为
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键．
（1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案；
（2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可；
（3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出．
【小问1详解】
解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，
则，
故答案为∶；
【小问2详解】
解：如图
，
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
则旗杆高度为米，
故答案为：；
【小问3详解】
如图：过作于，交于，
则，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
答：旗杆的高度为．
23. （1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在①平行四边形②菱形③矩形④正方形中，能称为垂美四边形是__________；（只填序号）

（2）【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，，，，之间的数量关系为，请你给出证明：
（3）【性质应用】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，请直接写出的长．
【答案】（1）②④（2）见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由菱形和正方形的对角线相互垂直可得答案；
（2）运用两次勾股定理，再运用等量代换可解决问题；
（3）先根据手拉手模型很容易得到，连接,,可得到四边形是垂美四边形，由（2）的结论算出即可.
【详解】（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，而矩形和平行四边形的对角线不一定垂直，
∴只有正方形和菱形是垂美四边形，
故选②④.
（2）∵，
∴,,,,
∴，
,
∴.
（3）如图所示，连接,.

在中，，，
由正方形可知，，
∴，
同理可得：，
由正方形和正方形可知，,
∴,
即,
∴,
∴,
又
∴,
∴
∴四边形是垂美四边形.
由（2）的结论可得：
解得：
【点睛】本题主要考查了新定义的概念，勾股定理的应用，一元二次方程解法等知识点，解决此题的关键是要合理的利用由垂美四边形得到的结论.
红
蓝1
蓝2
蓝3
红
红红
红蓝
红蓝
红蓝
黄
黄红
黄蓝
黄蓝
黄蓝
蓝
蓝红
蓝蓝
蓝蓝
蓝蓝
第一次
女1
女2
女3
男
女1
（女1，女2）
（女1，女3）
（女1，男）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男）
男
（男，女1）
（男，女2）
（男，女3）