2025-2026学年山东省邹城市第一中学高二上学期10月自主检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省邹城市第一中学高二上学期10月自主检测数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下说法错误的是( )
A. 零向量与任一非零向量平行B. 零向量与单位向量的模不相等
C. 平行向量方向相同D. 平行向量一定是共线向量
2.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
A. 1999B. 11000C. 9991000D. 12
3.设x,y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,-4,2)且a⊥c，b//c，则a+b=( )．
A. 2 2B. 3C. 10D. 4
4.在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0,9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为( )．
A. 0.25B. 0.4C. 0.6D. 0.75
5.如图，这是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中nΩ=36，n(A)=20，n(B)=15，nA∩B=6，则( )
A. PA∪B=2936B. P(AB)=136
C. PAB=2936D. PA∪B=512
6.如图，在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，G为的▵ABC重心，P为OG的中点，则AP=( )
A. -23a+13b+13c
B. 16a-13b-13c
C. -56a+16b+16c
D. 56a-13b-13c
7.如图所示，在60°二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=AC=BD=4，则线段CD的长为( )
A. 4 3B. 1C. 8D. 4 2
8.甲、乙两人进行投壶比赛，比赛规则：比赛中投中情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”，进行三场比赛后得筹数最多者获胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为13，投中“贯耳”的概率为16，投中“散射”的概率为19，投中“双耳”的概率为112，投中“依竿”的概率为136，乙的投掷水平与甲相同，且甲，乙两人投掷相互独立．比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
A. 85432B. 527C. 19D. 83432
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.2，P(AB)=0.5
B. 如果A与B互斥，那么P(A∪B)=0.7，P(AB)=0
C. 如果A与B相互独立，那么P(A∪B)=0.7，P(AB)=0
D. 如果A与B相互独立，那么PAB=0.4，PAB=0.4
10.有下列四个命题，其中正确的命题有( )
A. 已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB+BC+CD+DA=0.
B. 若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB//CD．
C. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量．
D. 对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．
11.如图，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，则( )
A. AF:FD=2:1
B. AF:FD=1:1
C. 若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为23
D. 若PA=1，则直线PE与平面ABCD所成角为30∘
12.如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是( )
A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为13
B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为130
C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为56
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为2936
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点C到直线AB的距离为 ．
14.已知向量b=(-2,1,1)，点A(-3,-1,4)，B(-2,-2,2)，若在直线AB上存在一点E，使得OE⊥b(O为原点)，则点E的坐标为 ．
15.已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB.点M在棱PC上运动，当平面MBD⊥平面PCD时，异面直线AB与DM所成角的正弦值为 ．
16.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，设DA=a，DB=b，DC=c
(1)以a,b,c为基底表示FE；
(2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60°，且DA=4，DB=3，DC=3，求FE．
18.(本小题12分)
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA中点，PD⊥平面ABCD，PD=CD=4，AD=2．
(1)求直线AP与平面CMB所成的角的正弦值；
(2)求二面角M-CB-P的余弦值．
20.(本小题12分)
作为世界乒坛本赛季收官战，首届WTT(世界乒乓球职业大联盟)世界杯总决赛2021年12月7日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
21.(本小题12分)
有A、B、C、D四位贵宾，应分别对应坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
22.(本小题12分)
如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC=∠BAD=π2，SA=AB=BC=12AD=1．

(1)求证：BD//平面AEG．
(2)求平面SCD与平面ESD所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为π6？若存在，求出GH的长：若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.BD
10.ABC
11.BC
12.ACD
13. 5
14.-65,-145,25
15. 33
16.p=910
17.(1)由已知CF=2DF得DC=3DF，
则FE=FD+DE=-13DC+DA+12AB=-13DC+DA+12DB-DA=12DA+12DB-13DC=12a+12b-13c；
(2)由(1)得FE=12a+12b-13c，
所以FE2=12a+12b-13c2=14a2+14b2+19c2+12a⋅b-13a⋅c-13b⋅c=14×42+14×32+19×32+12×4×3×12-13×4×3×12-13×3×3×12=274，
所以FE=3 32．

18.记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i=1,2,3)，则P(A1)=45，P(A2)=35，P(A3)=25，
(1)该选手进入第三轮才被淘汰的事件为A1A2A3，其概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=45×35×(1-25)=36125；
(2)该选手至多进入第二轮考核的事件为A1+A1A2，其概率为P(A1+A1A2)=P(A1)+P(A1)P(A2)=(1-45)+45×(1-35)=1325．

19.(1)∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，即PD，AD，CD两两垂直，∴以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由PD=CD=4，AD=2得A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),D(0,0,0),P(0,0,4),M(1,0,2)
则AP=(-2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,-2)
设平面CMB的一个法向量为n1=x1,y1,z1，则BC⋅n1=0MB⋅n1=0，即-2x1=0x1+4y1-2z1=0,
令y1=1，得x1=0，z1=2，∴n1=(0,1,2)，∴sinθ=cs=AP⋅n1AP⋅n1=82 5⋅ 5=45，
故直线AP与平面CMB所成的角的正弦值为45．
(2)由(1)得PC=(0,4,-4)，设平面PBC的一个法向量为n2=x2,y2,z2，则BC⋅n2=0PC⋅n2=0即-2x2=04y2-4z2=0，令y2=1，得x2=0，z2=1，∴n2=(0,1,1)，∴cs =n1⋅n2n1n2=3 5⋅ 2=3 1010，故二面角M-CB-P的余弦值为3 1010．

20.(1)设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，P(A)=23，P(B)=14，∴C=ABAB，
∴P(C)=P(ABAB)=P(A)P(B)P(A)P(B)=23×34×23×14=112，
∴该局打4个球甲赢的概率为112．
(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
D=ABABA，E=ABABA，F=D∪E，
∴P(D)=P(ABABA)=P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)
=1-23×14×1-23×14×23=1216，
P(E)=P(ABABA)=P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)=23×1-14×23×1-14×1-23=112，
∴P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=1216+112=19216，
∴该局打5个球结束的概率为19216．

21.以(A,B,C,D)分别表示A、B、C、D四位贵宾分别对应坐在a、b、c、d四个席位上，所有的基本事件有：(A,B,C,D)、(A,B,D,C)、(A,C,B,D)、(A,C,D,B)、(A,D,B,C)、
(A,D,C,B)、(B,A,C,D)、(B,A,D,C)、(B,C,A,D)、(B,C,D,A)、(B,D,A,C)、(B,D,C,A)、(C,A,B,D)、(C,A,D,B)、(C,B,A,D)、(C,B,D,A)、(C,D,A,B)、(C,D,B,A)、(D,A,B,C)、(D,A,C,B)、(D,B,A,C)、(D,B,C,A)、(D,C,A,B)、(D,C,B,A)，共24个基本事件．
(1)事件“这四人恰好都坐在自己席位上”所包含的基本事件为：(A,B,C,D)，因此所求概率为124；
(2)事件“这四人恰好都没坐在自己席位上”所包含的基本事件有：(B,A,D,C)、(B,C,D,A)、(B,D,A,C)、(C,A,D,B)、(C,D,A,B)、(C,D,B,A)、(D,A,B,C)、(D,C,A,B)、(D,C,B,A)，共9个基本事件，因此，所求概率为924=38；
(3)事件“这四人恰好有1位坐在自己席位上”所包含的基本事件有：(A,C,D,B)、(A,D,B,C)、(B,C,A,D)、(B,D,C,A)、(C,A,B,D)、(C,B,D,A)、(D,A,C,B)、(D,B,A,C)，共8个基本事件，因此，所求概率为824=13．

22.(1)连接FG，因为四边形SADE为矩形，所以F为SD的中点，
在▵SBD中，F、G分别为SD，SB的中点，
所以FG//BD，
又因为FG⊂平面AEG，BD⊄平面AEG，
所以BD//平面AEG．
(2)因为SA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，
又∠BAD=π2，所以AB⊥AD，
以AB，AD，AS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，E(0,2,1)，G12,0,12⋅
CD=(-1,1,0)，SC=(1,1,-1)，
设平面SCD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CD=-x+y=0m⋅SC=x+y-z=0，令x=1，得y=1，z=2，
所以平面SCD的一个法向量为m=(1,1,2)，
因为SA⊥AB，AB⊥AD，SA∩AD=A，SA,AD⊂平面ESD，
所以AB⊥平面ESD
所以平面ESD的一个法向量为AB=(1,0,0)
所以csm,AB=m⋅ABmAB=1 1+1+4= 66，
所以平面SCD与平面ESD所成锐二面角的余弦值为 66．
(3)GE=-12,2,12，BG=-12,0,12，
假设存在点H，设GH=λGE=-12λ,2λ,12λ，
则BH=BG+GH=BG+λGE=-12-12λ,2λ,12+12λ，
由(2)知，平面SCD的一个法向量为m=(1,1,2)，
因为BH与平面SCD所成角的大小为π6，
所以sinπ6=cs=m→⋅BH→m→BH→=-12-12λ+2λ+1+λ 4λ2+12(1+λ)2× 1+1+4=12，
所以52λ+12 6× 92λ2+λ+12=12，即(λ-1)2=0，所以λ=1.
故存在满足题意的点H，此时GH=GE= 14+4+14=3 22．