专题1.1 正数与负数、有理数的概念（举一反三讲义）数学人教版2024七年级上册+答案

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专题1.1 正数与负数、有理数的概念（举一反三讲义）【人教版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25889" 【题型1 认识正负数】 PAGEREF _Toc25889 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19273" 【题型2 用正负数表示相反意义的量】 PAGEREF _Toc19273 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1177" 【题型3 正负数比较大小】 PAGEREF _Toc1177 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25025" 【题型4 借助正负数的实际意义解决实际问题】 PAGEREF _Toc25025 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2484" 【题型5 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Toc2484 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc905" 【题型6 数的集合】 PAGEREF _Toc905 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc28975" 【题型7 有理数与规律探究】 PAGEREF _Toc28975 \h 14知识点1 正数和负数的概念1.正数和负数的定义：2.注意：0既不是正数，也不是负数.3.0的意义（1）0是正负数的分界；（2）0可以表示“没有”；（3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示.知识点2 具有相反意义的量1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示.例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m.知识点3 有理数1.定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数.2.有理数的分类：3.各类数的含义：【题型1 认识正负数】【例1】（24-25六年级下·上海·期末）在−18，912，0，12%，−7.2，−34，π，7中，非负数有（    ）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可．【详解】解：在−18，912，0，12%，−7.2，−34，π，7中，非负数有912，0，12%，π，7共5个，故选：B．【变式1-1】（24-25七年级上·河北保定·期末）我国东汉初期的数学家刘徽在注解《九章算术》时，明确提出了正数和负数的概念，比国外早了约800年．刘徽规定正数用红色小竹棒表示，负数用黑色小竹棒表示，则三根黑色小竹棒表示的数是（   ）A．+3B．−3C．0D．−3【答案】B【分析】根据正负数的意义解答即可．本题考查了正负数的意义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得三根黑色小竹棒表示的数是−3，故选：B．【变式1-2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有(    )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【分析】明确“整数”“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：①0不带“-”号，但是它不是正数；②正数前面加上“-”号表示的数就是负数，正确，正数前面加上“-”号表示正数的相反数，故是负数；③0既不是正数也不是负数，故错误；④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．综上所述，①③④错误，故选B【点睛】此题主要考查了正数、负数、整数、0的意义，理解概念是关键．【变式1-3】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示−723，则“”所表示的数是 ．【答案】−652【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．根据题干描述的算筹计数法计数即可．【详解】解：根据算筹计数法，“”所表示的数是−652，故答案为：−652．【题型2 用正负数表示相反意义的量】【例2】（24-25七年级上·贵州铜仁·阶段练习）仔细思考以下各对量：①胜二局与负三局；②气温升高3℃与气温为−3℃；③盈利3万元与亏损3万元；④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为65：60与60：65．其中具有相反意义的量有（　　）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】B【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据题意逐项分析判断即可求解．【详解】解：①胜二局与负三局；胜与负具有相反意义，故①符合题意；②气温升高3℃与气温为−3℃，升高与零下不具有相反意义，故②不合题意③盈利3万元与亏损3万元；盈利与亏损具有相反意义，故③符合题意④两场篮球比赛，甲、乙两队的比分分别为65：60与60：65．比分不具有相反意义，故④不合题意其中具有相反意义的量有①③．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式2-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）在跳远测验中，合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为+0.12米，何叶跳出了3.95米，记作（    ）A． +3.95米B． −3.95米C． +0.05米D． −0.05米【答案】D【分析】根据正负数的意义解答即可【详解】解：合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为+0.12米，∵4.00−3.95=0.05，即何叶跳出了3.95米，记作−0.05米，故选：D．【点睛】此题考查了正负数的意义，在一个实际问题中，规定一个量为正数，则相反意义表示的量即为负数．【变式2-2】（2025·辽宁大连·二模）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，92号汽油的价格也随之变化．如果每升92号汽油的价格上涨0.2元，记作+0.2元，那么−0.1元表示每升92号汽油的价格（    ）A．上涨0.1元B．上涨0.3元C．下降0.1元D．下降0.3元【答案】C【分析】本题考查了正数和负数，根据上涨记为正数，得到下降记为负数是解题的关键．由上涨记为正数，可得下降记为负数，进而可得出−0.1元表示每升92号汽油的价格下降0.1元．【详解】解：∵每升92号汽油的价格上涨0.2元，记作+0.2元，∴−0.1元表示每升92号汽油的价格下降0.1元．故选：C．【变式2-3】（24-25七年级上·北京海淀·期中）如图为小明微信账单．收到微信红包3.71元显示“+3.71”，则扫码付款7.35元，在阴影处显示的是 ．【答案】−7.35【分析】本题主要考查了正负数的意义，根据收到微信红包记作“+”，可知扫码付款记作“−”解答即可.【详解】解：因为收到微信红包3.71，记作“+3.71”，所以扫码付款7.35，记作“−7.35”.故答案为：−7.35.【题型3 正负数比较大小】【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在0°C以下或者最高气温在8°C以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？【答案】周一到周日佳佳有4天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案．【详解】解：根据表格数据得，周一：最高气温18°C>8°C，最低气温8°C>0°C，故佳佳可以不穿保暖裤；周二：最高气温9°C>8°C，最低气温2°C>0°C，故佳佳可以不穿保暖裤；周三：最高气温6°C