浙江杭州第二中学2025-2026学年高三下学期5月阶段测试数学试题（有答案）

这是一份浙江杭州第二中学2025-2026学年高三下学期5月阶段测试数学试题（有答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. 2B. 4C. D. 6
2. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为等比数列 的前 项和， ，对 ，甲： ；乙： ；则（ ）
A. 甲是乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
5. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是上一点，直线的斜率为3，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ）
A. 4天B. 8天C. 10天D. 16天
8. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据：
设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ）
A. 人工智能的市场规模与年份正相关
B. 人工智能的市场规模的分位数为110
C. 关于的回归方程为
D. 人工智能的市场规模的年增长率约为
10. 已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当时，的面积为
11. 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数B. ，
C. D. 在区间上，有2027个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．
13. 的展开式中含的项为____.
14. 如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，满足．
（1）求；
（2）若为边上一点，，，，求的面积．
16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，.
（1）求证：；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和，求证：．
18. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且.
（1）求的方程；
（2）若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点.
（i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值；
（ii）求坐标原点到直线距离的最大值.
19. 已知函数，．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的单调区间；
（3）若，，且，满足，求证：．
（参考数据：）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
市场规模
6.4
9.5
13.8
20.1
29
40.7
58
80.4
110
150