浙江省杭州第二中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州第二中学2024−2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是边长为1的等边三角形，那么原三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
2．为不同的平面，为不同的直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
4．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（ ）

A．B．C．D．
5．在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为
A．B．C．D．
7．已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的体积相等，它们的表面积分别为、、，下面关系中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//平面B．
C．D．//平面
11．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值D．的最小值为
三、填空题
12．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时， .
13．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是 ．
14．已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为 .
四、解答题
15．直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．

（1）当D为线段AB的中点时．证明：平面
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值
16．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，
，点在线段上，且，，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求四棱锥的表面积.
17．如图，在四棱锥中，，．

（1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由；
（2）若平面平面，，，求点A到平面的距离．
18．已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）．
（1）证明：平面ABE；
（2）当时，求二面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】在直观图中，，
在三角形中，过点作⊥于点，则，，
故，
还原直观图得原图如下，
，由得，
所以的面积为.
故选D
2．【答案】C
【详解】A选项，若，，则m与n可能相交、异面或平行，A错误；
B选项，若，，则或，B错误；
C选项，根据线面垂直的性质定理，若，，则，C正确；
D选项，若，，则或，D错误.
故选C
3．【答案】B
【详解】由知，，且．
又平面，平面，平面．
又点H，G分别为BC，CD的中点，且，
且，四边形是梯形．
故选:B．
4．【答案】D
【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和，
则圆锥的底面半径为，
过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：

此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则
作垂直地面于，则
因为，所以，
即即，所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】
取的中点，连接，，是的中点，
，，
或其补角即为异面直线与所成的角，
设正四面体的棱长为，
是的中点，是的中点，和均为正三角形，
，，且，，
在中，，
在中，，
异面直线与夹角的余弦值为.
故选A.
6．【答案】C
【详解】连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示：
设正方体的棱长为，设，则，
由于平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，，，
的面积为，
由题意可知，三棱台的体积为，整理得，
，解得，因此，.
故选C.
7．【答案】C
【详解】设正方体棱长为，圆柱底面圆半径为，球半径为，三者体积都为.
则，
，
.
因，则，
得；
，则；
综上，.
故选C
8．【答案】D
【详解】， M为BC的中点，
∴，故，
设，则点M到地面的距离为，
，，
∵射影是以A为直角顶点的，
∴，
在直角梯形中，，
即，所以,
设AM与平面所成角为，
则,
所以.
故选A.
9．【答案】BC
【详解】解：对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，
所以、、、四点共面，
同理可证，即、、、四点共面，
平面，故A错误；
对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，
平面，平面，所以平面，同理可证平面
又，、平面，
平面平面，
又平面，
平面，故B正确；
选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，
平面，故C正确；
对于D，连接，则，
，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，故D错误．
故选BC．
10．【答案】BCD
【详解】设棱柱的高为，.
A选项，根据棱柱性质，，而平面，
若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，
而与平面只有一个交点，于是得到矛盾，故A选项错误；
B选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），故B选项正确；
C选项，连接，
根据平行四边形性质，过，计算可得，，
又为的中点，故（三线合一），
结合A选项，，
因为，平面，
所以平面，因为平面，所有，
因为棱柱的侧棱//，所以，故C选项正确；
D选项，取中点，连接，
结合为的中点可知，为中位线，
故//，且，即//，且，
故四边形为平行四边形，故//，
由平面，平面，故//平面，故D选项正确.
故选BCD
11．【答案】ACD
【详解】在直三棱柱中，，，
底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；
直三棱柱的体积为，故B不正确；
由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值，
××2＝，××＝，故C正确；
设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，
即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】2、
【详解】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.
13．【答案】8
【详解】由，即，故，
令且，则，即，所以，
由，而，
所以时，最大.
14．【答案】
【详解】的面积，
设球心到平面的距离为，
则，解得，
在中，由余弦定理
，

设的外接圆半径为，由正弦定理
则，解得，
设球的半径为，则，
所以球的表面积为.
15．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）连接，交于点，连接，如图，
四边形为平行四边形，为的中点，
又为的中点，，
平面，平面，平面.
（2）因为，
所以，故，
又在直三棱柱中，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
设，由得：，即，
解得，，，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
又，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
.
16．【答案】（1）见详解.
（2）.
【详解】【试题分析】（1）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面.由此证得平面平面.（2）根据体积公式计算得，即只需取得最大值.利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积.
【试题解析】（1）由可得，
易得四边形是矩形，∴，
又平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面
（2）四棱锥的体积为 ，
要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.
由条件可得，∴，即，
当且仅当时，取得最大值36.
，，，
，则，
∴，
则四棱锥的表面积为
.
17．【答案】（1）存在；理由见详解；（2）．
【详解】（1）存在的中点E，使得平面，

证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，故四边形为平行四边形，即，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）取的中点O，连接，，
∴，则，

∵面面，面面，平面，
∴面，
设点A到平面的距离为d，则，
∴，又面，
∴，，，可得，易知，
∴，，，
∴，，
∴，可得，即点A到平面的距离为．
18．【答案】（1）见详解
（2）．
【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，，
因为，故．
所以在折叠后的几何体中，有，，
而，平面，
故平面ABE．
（2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G．
在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH．
因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD，
故平面EBCF，
因为平面EBCF，故，而，故平面DGH，
又平面DGH，故，所以为二面角的平面角，
在平面AEFD中，因为，，故，
又在直角梯形ABCD中，且，
故，故四边形AEGD为平行四边形，故，，
在直角中，，
因为为三角形内角，所以为锐角，
，，解得，
故，故，
因为三角形内角，故为锐角，
，，解得，
所以二面角的平面角的余弦值为．