浙江省杭州市2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份浙江省杭州市2025学年高二下学期期中考试数学试题（含答案），共3页。试卷主要包含了、选择题，、多选题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

二 、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13.10 14. (5,+∞).
四 、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
D
A
C
C
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
ABC
(2)由条件得cn=(n+1)·2"-2
由题意T,=2·2⁻¹+3.2°+…+(n+1)·2”⁻²①,
于是2Tₙ=2 ·2⁰+3 ·2¹+…+(n+1) ·2”-¹②
①-②得-T,=1+(2⁰+2¹+…+2”-2)-(n+1) ·2”-1 化简上式得-Tn=1+2”-¹-1-(n+1)·2”-¹=-n·2”-1
……………3分
………………5分
………………7分
…………10分
15.【答案】
(1)由题意得
由 2Sₙ+1=4b ∴bn=2bₙ-1,
又
解得
得到2Sn-1+1=4b-1, 两式相减得2bₙ=4bn-4bₙ-1,
即
∴{bn}是首项为,公比为2的等比数列
∴Tn=n·2- ………………13分 (注：没有化出最简结果扣1分)
16.【答案】
( 1 ) 由b²+c²-a²=√2bc, 得到 , 即 ,于是 …………3分 由 √3bsinC=c(1+csB) 得到 √3sin BsinC=sinC(1+csB)
. √3sinB-csB=1, 于是 , 即 ………………5分
于是
故△ABC的面积为.
17.【答案】
(1)如图1,分别取BC中 点O,AD 中点Q, 连结PO 、OQ 、QP 显然PB=PC,∴PO⊥BC 2 分
由条件得 ,∴PO²+0Q²=PQ²,∴PO⊥0Q
又∵ BC∩Q=0,BC,0Qc 平面 ABCD ∴PO⊥平面 ABCD
又POc 平面PBC, 故平面PBC⊥ 平面ABCD
………………7分
…………9分
………12分
……………15分
…………4 分 …………5分 …………6分
结合条件可得 (2)由题意得
由正弦定理
,故 ,c=√2
得
C
图1
图2
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ，PO⊥平面ABCD, 以O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系O-xyz,
则
BC=(0,-1,0), 设CM=λCP,0≤λ≤1,
………………8分
设平面BMD的一条法向量为n=(x,y,z), 由 得
令y=1, 则x=√3, , 即 ……………10分
又平面BDC的一条法向量为m=(0,0,1), 设二面角M-BD-C 的大小为θ,
由θ为锐角，
化简得2λ²+λ-1=0,解得 或λ=- 1(舍) …………13分
…………15分
18.【答案】
(1)由题意得,解得 双曲线的方程为x²-y²=1 …………………4分
(2)(i) 联立 解得
联立,解得 ……………………6分
由于kM·kn=-1, 所以OM⊥ON ……………………8分
所以△OMN 的面 ………………10分
(ii) 法1:
要证明FQ 平分∠OFP, 即证∠PFO=2∠QFO
只 需 ,即证
易知F(√2,0), 当x=1 时，解得.
…………12分
…………13分
,故原命题得证.
又
法2:易知F(√2,0),当x=1 时，解得 , 故 F0=(-√2,0),FP=(x-√2.,x%),
由于 FP= √ (x₀- √2)²+y2= √ (x。- √2)²+x2-1= √2x₀-1
…………15分
…………17分
…………11分
则FT=(x₀- √2,y%)+(1- √2x。,0)=(1- √2)(x₀+1),y%) …………13分
要证明FQ 平分∠OFP 只需证FT 与FQ 共线 …………15分
即证
即证y2=x2-1, 显然成立
∴FQ平分∠OFP …………17分
19.【答案】
(1)当a=b=1 时 ，f(x)=eˣ+1-csx, 则f'(x)=eˣ+sinx …………2分 由于eˣ≥1,sinx≥-1, 于 是f'(x)>0, 故f(x) 在区间(0,π)上递增. …………4分
(2)当a=1 时 ， ①当 时，显然g'(x) 在 上递增，且
∴由零点存在定理知必存在 使得g'(x。)=0 ……………………6分
②当时，可
由上述讨论可知g(x) 在(0,x₀) 递减，(x₀,π) 递增，
故x。是唯一极小值点，且有 ……………………8分
(3)当时 ，
………………
10分
①b≥0, 显然f(x)>0, 即f(x)不存在零点，故b≥0不合题意；
②当b≤-2时，由于f(O)=1>0, ,f(3π)=e+2b0 恒成立；
②当 时 ， 递减，
当x∈(π,x₂)时 ， ……………………15分
,综上所述，