2026届北京101中学高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届北京101中学高三适应性调研考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了若2m＞2n＞1，则，下列命题为真命题的个数是，双曲线，已知，则下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知不等式组表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
5．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）
①；②；③.
A．0B．1C．2D．3
6．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．是假命题B．是真命题
C．是真命题D．是假命题
11．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( )
A．4B．3C．2D．1
12．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______
14．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.
15．展开式中的系数为_________.
16．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且的周长为6，点关于原点的对称点为，直线交于点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于另一点，且，求点的坐标.
18．（12分）已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围.
19．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．
20．（12分）已知数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和.若对恒成立，求实数，的值.
21．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．
（1）求的值；
（2）若的面积为求的值．
22．（10分）已知函数.
（Ⅰ）求在点处的切线方程；
（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.
（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.
【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：
四棱锥体积为：
原几何体体积为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
2、C
【解析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.
详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则，所以平面区域的面积，
解得，此时，
由图可得当过点时，取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
3、D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
4、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
5、C
【解析】
对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.
【详解】
由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；
对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，
因为，则
又由，所以，即，所以②不正确；
对于③中，设函数，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，即，所以是正确的.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
6、C
【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.
【详解】
有1个零点
等价于与的图象有1个交点．
记，则过原点作的切线，
设切点为，
则切线方程为，
又切线过原点，即，
将，
代入解得．
所以切线斜率为，
所以或．
故选：C
【点睛】
本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
7、C
【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
此时椭圆长轴长为，短轴长为6，
所以椭圆离心率，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
8、B
【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程.
【详解】
设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为,
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题.
9、D
【解析】
由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
由题意得，，得，解得，
得.
当时，；当时，，
则的最小值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10、D
【解析】
举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
当时，故命题为假命题；
记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，
易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，
∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；
∴是假命题
故选D
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．
11、C
【解析】
①根据线性相关性与r的关系进行判断,
②根据相关指数的值的性质进行判断,
③根据方差关系进行判断,
④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.
【详解】
①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;
②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;
③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;
④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③.
故选：C.
【点睛】
本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.
12、C
【解析】
对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
对任意的总有恒成立
，对恒成立，
令，
可得
令，得
当，
当
，，
故
令，得
当时，
当，
当时，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求.
【详解】
解：的渐近线是
因为在渐近线上，所以
，
故答案为：
【点睛】
考查双曲线的离心率的求法，是基础题.
14、
【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.
【详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
15、
【解析】
变换，根据二项式定理计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，，
取和，计算得到系数为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16、-40
【解析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
【详解】
的二项展开式的通项公式为，
r=0，1，2，3，4，5，
令，
所以的二项展开式中x项的系数为.
故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据的周长为，结合离心率，求出，即可求出方程；
（2）设，则，求出直线方程，若斜率不存在，求出坐标，直接验证是否满足题意，若斜率存在，求出其方程，与直线方程联立，求出点坐标，根据和三点共线，将点坐标用表示，坐标代入椭圆方程，即可求解.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为，的周长为6，
设椭圆的焦距为，则
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，且，
所以的方程为①.
若，则的方程为②，由对称性不妨令点在轴上方，
则，，联立①，②解得即.
的方程为，代入椭圆方程得
，整理得，
或，.
，不符合条件.
若，则的方程为，
即③.
联立①，③可解得所以.
因为，设
所以，即.
又因为位于轴异侧，所以.
因为三点共线，即应与共线，
所以，即，
所以，又，
所以，解得，所以，
所以点的坐标为或.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设，，注意到在上单增，再利用零点存在性定理即可解决；
（2）函数在上单调递减，则在恒成立，即在上恒成立，构造函数，求导讨论的最值即可.
【详解】
（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，
∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
19、见解析
【解析】
（1）当时，函数，其定义域为，
则，设，，
易知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，为，无极大值．
（2）由题可得函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，
当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
所以函数有且仅有一个零点．
综上，函数有且仅有一个零点．
20、（1）（2），.
【解析】
（1）根据数列的通项与前n项和的关系式，即求解数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用等比数列的前n项和公式和裂项法，求得，结合题意，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当时，由，解得；
当时，可得，
即，
显然当时上式也适合，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
所以
.
因为对恒成立，
所以，.
【点睛】
本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前n项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
21、（1）；（2）.
【解析】
(1)根据成等差数列与三角形内角和可知,再利用两角和的正切公式,代入化简可得,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得,联立即可求解求的值.
(2)由(1)可知,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得,再结合的面积为利用面积公式求解即可.
【详解】
解：成等差数列,
可得
而,即,展开化简得
,因为,故
①
又成等比数列,
可得,
即,
可得
联立解得（负的舍去）,
可得锐角；
由可得,
由为锐角,
解得,
因为为锐角,故可得,
由正弦定理可得,
又的面积为
可得,
解得．
【点睛】
本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析
【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知,在上恒成立,再分别设 的解为、.再根据不等式的性质证明即可.
【详解】
（Ⅰ）由题,故.且.
故在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设恒成立,故.
设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.
又,即且,故只能在处取得最小值,
当时，此时,且在上,单调递减.
在上,单调递增.故,满足题意；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；
故
（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.
又因为,,
故设的解为,因为,故.
所以在递减,在递增.
因为方程有两个实数根,故 .
结合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.
设 的解为,则；设的解为,则.
故,.
故,得证.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.