2026届北京市西城区第8中学高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届北京市西城区第8中学高三适应性调研考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，复数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，，则实数x的值等于（ ）
A．6B．1C．D．
3．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
4．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
5．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（ ）
A．[﹣3，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）
7．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
9．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（ ）
A．B．C．1D．
11．设是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆心在曲线上的圆中，存在与直线相切且面积为的圆，则当取最大值时，该圆的标准方程为______.
14．已知，则__________．
15．已知实数、满足，且可行域表示的区域为三角形，则实数的取值范围为______，若目标函数的最小值为-1，则实数等于______.
16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.
（1）证明：平面；
（2）若,求二面角的余弦值.
18．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．
（1）求．
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）已知直线是曲线的切线.
（1）求函数的解析式，
（2）若，证明:对于任意，有且仅有一个零点.
20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．
21．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）
（1）求证：平面；
（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.

【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
2、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】
，，，
，
即，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.
3、B
【解析】
计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
4、D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．
【详解】
由题意可知，代入得：，
代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
5、B
【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【详解】
解：，
则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，
位于第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.
6、C
【解析】
先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.
【详解】
因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，
又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7、A
【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，又为锐角
所以，
根据三角函数的定义：
所以
由
所以
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.
8、C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
9、A
【解析】
作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.
【详解】
作于,于.
因为平面平面,平面.故,
故平面.故二面角为.
又直线与平面所成角为,因为,
故.故,当且仅当重合时取等号.
又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.
故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.
10、A
【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
11、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
12、D
【解析】
根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.
【详解】
根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.
【点睛】
本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．
【详解】
设圆的半径为，由题意可得，所以，
由题意设圆心，由题意可得，
由直线与圆相切可得，所以，
而，，所以，即，解得，
所以的最大值为2，当且仅当时取等号，可得，
所以圆心坐标为：，半径为，
所以圆的标准方程为：.
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.
14、
【解析】
解：由题意可知： .
15、
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数的最小值，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出可行域如图，
则要为三角形需满足在直线下方，即，；
目标函数可视为，则为斜率为1的直线纵截距的相反数，
该直线截距最大在过点时，此时，
直线：，与：的交点为，
该点也在直线：上，故，
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题.
16、（-4，2）
【解析】
试题分析：因为当且仅当时取等号，所以
考点：基本不等式求最值
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．
【详解】
（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，
所以，因为，所以，
又因为，，所以平面，
所以，又因为，所以是中点，
取中点，连结，，因为是的中点，则且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（图1） （图2）
（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，
则，.在中，，所以.
在中，，所以，
由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，.
所以，则，，
设平面的法向量为，
则即
取得.故平面的一个法向量为，
因为平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18、 (1) (2)
【解析】
(1)由数列是等差数列，所以，解得，又由，解得， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和．
【详解】
(1)由题意，数列是等差数列，所以，又，，
由，得，所以，解得，
所以数列的通项公式为．
(2)由（1）得，
，
，
两式相减得，
，
即．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
19、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）对函数求导，并设切点，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得，即可得答案；
（2）当x充分小时，当x充分大时，可得至少有一个零点. 再证明零点的唯一性，即对函数求导得，对分和两种情况讨论，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，，设直线与曲线相切于点.
根据题意，可得，解之得，
所以.
（2）由（1）可知，
则当x充分小时，当x充分大时，∴至少有一个零点.
∵，
①若，则，在上单调递增，∴有唯一零点.
②若令，得有两个极值点，
∵，∴，∴.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴极大值为.，又，
∴在(0，16)上单调递增，
∴，
∴有唯一零点.
综上可知，对于任意，有且仅有一个零点.
【点睛】
本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.
20、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．
【解析】
（Ⅰ）由题知，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；
（Ⅱ）求解平面PDE的一个法向量，计算，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．
【详解】
（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，
如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
，又，平面PAC，
平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）设为平面PDE的一个法向量，
又，
则，取，得
，
直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）设为平面PBE的一个法向量，
又
则，取，得，
，
二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.
【点睛】
本题主要考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成角的计算，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.
21、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，
所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；
又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；
将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，
所以翻折后四边形也为平行四边形；故；
因为平面，平面，
所以平面；
（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，
因为，，翻折前梯形的高为，
所以，则，；
所以；
又，，
所以，即，所以；
又，且平面，平面，
所以平面；因此，平面平面；
所以点在底面上的投影必落在直线上；
记为点在底面上的投影，连接，，
则平面；
所以即是直线与平面所成角，
因为，所以，
因此，，
故；
因为，
所以，
因此，故，
所以.
即直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.
22、（1）（2）见解析，
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.
则，
，
.
所以.
答：发生调剂现象的概率为.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.
则，
，
.
所以X的分布表为：
所以.
【点睛】
本题是一道考查概率和期望的常考题型.
X
0
1
2
P