2026届北京朝阳陈经纶中学高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份2026届北京朝阳陈经纶中学高三适应性调研考试数学试题含解析，共8页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，集合的子集的个数是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱 AB，BC，的中点，M为棱AD的中点，设P，Q为底面ABCD内的两个动点，满足平面EFG，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．设命题函数在上递增，命题在中，，下列为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
3．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知实数满足线性约束条件，则的取值范围为（ ）
A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4)D．[0,4]
5．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )
A．B．C．D．
6．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A．B．C．D．
8．函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（1，2）D．（﹣∞，1）
9．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
10．集合的子集的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．8
11．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
12．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．定义在上的偶函数满足，且，当时，.已知方程在区间上所有的实数根之和为.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________，__________.
14．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.
15．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.
16．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；
（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望.
18．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.
19．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．
20．（12分）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
21．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.
22．（10分）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
把截面画完整，可得在上，由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．
【详解】
如图，分别取的中点，连接，易证共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得，平面，平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．
正方体中平面，从而有，∴，∴在以为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，
显然关于直线的对称点为，
，当且仅当共线时取等号，∴所求最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
2、C
【解析】
命题：函数在上单调递减，即可判断出真假．命题：在中，利用余弦函数单调性判断出真假．
【详解】
解：命题：函数，所以，当时，，即函数在上单调递减，因此是假命题．
命题：在中，在上单调递减，所以，是真命题．
则下列命题为真命题的是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3、B
【解析】
由题意得,,求解即可.
【详解】
因为,所以.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.
4、B
【解析】
作出可行域，表示可行域内点与定点连线斜率，观察可行域可得最小值．
【详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），表示可行域内点与定点连线斜率，，，过与直线平行的直线斜率为－1，∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题表示动点与定点连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
5、C
【解析】
求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得
【详解】
抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.
6、C
【解析】
分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果.
【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种，
由间接法得到满足条件的情况有
共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种，
故满足条件的事件的概率为：
故答案为：C.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
7、C
【解析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有种情况，
2张均没有奖的情况有（种），故所求概率为.
故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.
8、B
【解析】
根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。
【详解】
根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，
若函数在上单调递减，则在上递增，
所以要使，则有，变形可得，
解可得：或，即的取值范围为；
故选：B．
【点睛】
本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。
9、A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
10、D
【解析】
先确定集合中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．
11、D
【解析】
弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.
【详解】
因，所以，故，又， ，则，
故集合.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.
12、C
【解析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次，，；
第二次，，；
第三次，，，
…；
第九十八次，，；
第九十九次，，，
此时要输出的值为99.
此时.
故选：C.
【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2 4
【解析】
根据函数为偶函数且，所以的周期为，的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为，从而可得参数的值，最后求出函数的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：因为为偶函数且，所以的周期为.因为时，，所以可作出在区间上的图象，而方程的实数根是函数和函数的图象的交点的横坐标，结合函数和函数在区间上的简图，可知两个函数的图象在区间上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为，所以，故.
因为，
所以.故.
故答案为：；
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.
14、
【解析】
由知x＞0，故.
令，则.
当时，；当时，.
所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.
故，即.
15、
【解析】
设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.
【详解】
，设，，则.
原函数等价于函数，即有两个解.
设，则，函数为奇函数.
，函数单调递增，，，.
当时，易知不成立；
当时，根据对称性，考虑时的情况，，
画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，
根据对称性知：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
16、
【解析】
由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.
【详解】
是抛物线准线上的一点
抛物线方程为 ，准线方程为
过作准线的垂线，垂足为，则

设直线的倾斜角为，则
当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切
设直线的方程为，代入得：
，解得： 或
双曲线的实轴长为，焦距为
双曲线的离心率
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果；
（2）由题可知，随机变量的可能取值为、、，利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出随机变量的数学期望值.
【详解】
（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）.
因此，所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，
，，，
所以，随机变量的分布列为：
所以，随机变量的期望为.
【点睛】
本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于基础题.
18、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.
【解析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】
（1）第一组数据平均数为千斤/亩，
第二组数据平均数为千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（
（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为千斤.
∴该农场一年的利润为千元.
（ii）对于采用降低夜间温度的方法：
每亩平均产量为千斤，
∴该农场一年的利润为千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
的可能取值有0，1，2，3，
；
；
；
.
所以的分布列为
所以.
【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上是存在一点，，使直线与平面所成的角正弦值为.
【解析】
（Ⅰ）取中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面;（Ⅱ）取中点，连结，，推导出平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假设在线段上是存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，设．利用向量法能求出结果．
【详解】
（Ⅰ）证明：取中点，连结、，
是边长为2的等边三角形，，，，点为的中点，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）解：取中点，连结，，
在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，
，，，点为的中点，
平面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，1，，，0，，，1，，，0，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
（Ⅲ）解：假设在线段上是存在一点，使直线与平面所成的角正弦值为，设．
则，，，，，，平面的法向量，
，
解得，
线段上是存在一点，，使直线与平面所成的角正弦值为．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；
（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．
【详解】
解：（1）设的公差为，由题设得
因为，
所以
解得，
故．
（2）由（1）得．
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
由得，
解得．
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．
21、（1）；（2）16.
【解析】
（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.
【详解】
（1）曲线：，即
化为直角坐标方程为：；
（2），即
同理
∴
当且仅当，即（）时取等号
即的面积最小值为16
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.
22、（1）；（2）
【解析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
0
1
2
3