华东师大版（2024）八年级上册（2024）1. 三角形的判定条件教案

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一、教学内容
华东师大版八年级数学上册教材12.2《三角形全等的判定》中一般三角形全等的判定，整合教材67页——83页，重组单元《探究三角形全等的判定条件》。
二、设计说明
【课标依据】
《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于课程实施提出了要“整体把握教学内容”的教学建议，尤其强调要重视单元整体教学设计，改变过于注重以课时为单位的教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。要求教师整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题——单元——课时的数学知识和核心素养主要表现，整体设计、分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握。本设计为基于“全等三角形的判定”这个核心概念的单元整体教学之开篇设计。
【教材依据】
三角形全等的判定是第12章《全等三角形》中一个相对独立的内容，包括一般三角形全等的判定和直角三角形全等的判定。以七年级上学期“图形的初步认识”与“相交线和平行线”以及“七年级下学期“三角形”与“轴对称、平移与旋转”为基础，为后续学习等腰三角形、线段垂直平分线与角平分线，以及实现合情推理与演绎推理的有机结合提供重要依据，也为四边形、相似形、圆的探究做充分的准备。
【设计理念】
用少量主题的深度覆盖去替换学科领域中对所有主题的表面覆盖，是深度学习和有效学习的本质，能使数学学科中的关键概念得以理解。判定三角形全等的“边边边、边角边、角角边、角边角”就是所有主题，而给定三个不同条件能否画出唯一确定的三角形就是少量主题，在图形中识别能够判定全等的三个条件并写出规范的推理过程就是对此学习内容的深度覆盖。
【单元设计思路】
按总—分—总的结构，打破教材逐节研究三角形全等判定方法的格局，以单元教学的形式整合研究三角形全等的判定方法，围绕核心问题设计学习任务序列。
1.第一课时构建一个完整的探索三角形全等的活动体系：先由全等三角形的定义直接导出全等三角形的性质，然后从类比“平行线的性质与判定”在命题陈述上的互逆关系出发，引出由三条边和三个角分别相等，可以判定两个三角形全等。再探索能否减少条件简洁的判定两个三角形全等。即从一个条件开始，逐渐增加条件的数量，分别探究一个条件、两个条件、三个条件能否判定两个三角形全等。对于三个条件的情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况，依次进行探究，同时根据探究内容与要求的差别，采取不同的探究方式。
2.第二课时在已知两边和夹角、两边和一边对角、两角和夹边的情形下，分别用尺规作图，让学生比较画出来的图形，再现三个基本事实，以及用推理证明的方法，得出角角边定理。
3.第三课时选择两组较为简单的问题，直接应用四种判定方法，证明符合一定条件的两个三角形全等，书写严谨的证明格式，开启演绎证明。
4.第四课时按照循序渐进培养推理能力的思路，设计第三、四组典型例习题“伸头”和“伸脚”。“伸头”是利用等量关系，设法补齐三角形全等的条件；“伸脚”是由三角形全等，伸至证明两条边或两个角相等，进一步规范演绎证明书写格式。
5.利用一节习题课，设计第五、六组例习题，在复杂图形或实际问题背景中分析条件与结论的关系，识别出能够判定三角形全等的条件，总结出“构造全等三角形是证明两条线段或两个角相等”的重要方法，应用三角形全等解决问题。
三、教学背景分析
学生前面学习了线段、角等基本几何元素，研究了相交线与平行线、三角形等基本几何图形，积累了一些几何研究的经验。尤其是学习平行线后，对图形的判定与图形的性质有了初步认识，知道它们是研究几何图形的两个重要方法，这些已有的认识将有利于学生理解性质和判定也是研究全等三角形的重要内容，同时对将研究的内容做到心中有数。
四、教学目标设定简析
【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应元素（对应边、对应角）；
(2)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；三边分别相等的两个三角形全等；理解“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”的充分性。
2.问题解决
构建三角形全等条件的探索思路，经历动手操作，探究基本事实的形成过程，感悟它的正确性。体会给定条件能画出确定形状和大小的三角形为判定三角形全等提供依据的可靠性，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度
在动手思考和动手操作探究三个基本事实的过程中，激发探究问题的兴趣，体会研究几何问题的方法，体会三角形全等的应用价值，增强学生对数学学习的求知欲。
4.素养培养
(1)数学眼光：在探索过程中体会基本事实的探究路径和方法，发展几何直观
(2)数学思维：在不同数量条件下分类探究三角形全等，渗透分类讨论的数学思想方法。
(3)数学语言：培养学生用数学符号和图形表达几何关系的意识和能力。
【目标解析】
1.达成“知识与技能”目标的标志是：能用数学的眼光从图形重合的角度识别三角形全等和对应边、对应角；经历实验探究、操作确认、推理论证等数学思维过程获得“边角边”、“角边角”和“边边边”三个基本事实和“角角边”定理；
2.达成“问题解决”目标的标志是：学生通过回顾全等三角形的定义，由定义判定两个三角形全等是最可靠的判定方法，但条件繁琐，需要逐步减少条件的研究思路。分类讨论得出三角形全等的研究内容、思路和方法。
3.达成“情感态度”和“素养目标”的标志是：理解几何基本事实的意义，学会研究数学问题的方法，体会数学的严谨性，形成初步的推理能力和重事实、讲道理的科学精神。
五、单元教学问题诊断分析
重点：全等三角形的判定方法及应用。
初中阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似。以三角形为例研究全等，研究的问题和方法将为后面学习相似提供思路。本部分学习内容还承载演绎推理入门的重要使命。
难点：1.在图形中分析条件与结论的关系，识别能够判定全等的条件，形成解决问题的思路，会用准确和严谨的语言表达逻辑关系。
2.画图探索全等三角形判定方法时将三个边角条件正确分类；
3.研究三角形全等时对应思想的应用。
六、教学支持条件
1.教具：多媒体课件、电子白板
2.学具：三角板、圆规、 纸、笔、量角器
七、教学过程设计
（一）复习旧知，引发思考
1.全等三角形的定义及对应顶点、对应边、对应角的概念
2.分别说出平行线的性质与平行线的判定方法，并从命题的角度分析“性质与判定”的“条件与结论”有何关系。
3.全等三角形的性质
4.将命题“全等三角形的对应边相等、对应角相等”的条件和结论互换位置后得到的新命题怎样叙述？
师生活动：学生回答，教师梳理，并引导两个三角形全等，本质上是经过平移、旋转、翻折后能重合，说明它们形状大小具有唯一性。
设计意图：梳理已有知识，为新课做好铺垫；类比平行线的学法明确研究全等三角形的套路也是从性质和判定两个方面入手。
（二）创设情境，引入新知
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？
（三）明确思路，分层探索
问题1 如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形放在一起能够重合，也就是它们能够全等。那么，能否减少一些条件来判定两个三角形的全等呢？我们尝试给出最少的条件能否画出形状和大小唯一确定的三角形。
（1）一个条件：① 一条边 ②一个角
师生活动：教师布置探究任务：
①以3cm为一条边画一个三角形
②以45°为一个角画一个三角形
学生画图，观察，交流，得出第一个结论：三角形中只有一个元素确定，无论是一条边还是一个角，三角形的大小和形状都不确定，即不能用一个条件判定两个三角形全等。
设计意图：分类是重要的数学思想方法。让学生体会问题1的分类标准，首先是按条件的个数分类，一个条件、两个条件、三个条件。而一个条件确定时的分类是按边或角分类，一条边或者一个角，要做到不重、不漏，这为后面两个或三个条件确定时的分类做准备；引导学生理解给定条件下画出的三角形的形状和大小是否唯一确定，就是给定条件下三角形是否全等的另一种表达。
问题2 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？分别按照下面条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等。
①三角形的两个内角分别为30°和70° 如图①
②三角形的两条边分别为3cm和5cm； 如图②
③ 三角形的一个内角为60°，一条边为3cm
第一：这条长3cm的边是60°的邻边 如图③
第二：这条长3cm的边是60°的对边 如图④


图① 图②
图③ 图④
师生活动：学生互相交流画图的方法，动手画图后观察或者剪下图形叠放，比较和讨论所画出的三角形是否重合；教师巡视，点拨学生遇到的困难，纠正不恰当的画法，参与学生讨论。
设计意图：为学生提供自主探索、合作交流的空间，让学生动手操作，动口交流，动眼观察，动脑思考，充分认识两个条件确定时，无论是两个角确定、两条边确定、还是一边一角确定，都无法判定两个三角形全等。
问题3 如果三个元素确定，能否画出唯一的一个三角形呢？三个元素确定分为哪些情况呢？
师生活动：教师提问后，给学生留有足够的时间去探究。学生会想到三个角确定、三条边确定、两角一边确定和两边一角确定。教师进一步画图追问，两角一边的情况下，是否还存在两角夹一边和两角一对边的不同情况、两边一角呢，是否存在类似的问题？

两边夹一角 两边一对角
设计意图：此种情况下的分类具有挑战性，是重点要处理的问题，也是最具有探究价值的内容，能够触及一类知识的学习，教师先引导，再留白，让学生探究方向更明确，探究结果更准确。师生合作、生生合作，得出三个条件确定时分为6种情况，即三条边、三个角、两边一夹角、两边一对角、两角一夹边、两角一对边，为下一步给定条件画图扫清障碍。两角一边的两种情况分别如图所示：

两角一夹边 两角一对边
问题4 按下列给定条件画三角形
①两条边分别为2.5cm和3cm，夹角为45°；
②两条边分别为2.5cm和3cm，2.5cm长的线段所对的角是45°；
③两个角分别为60°和40°，夹边为3cm；
④两个角分别为60°和40°，40°角所对的边为3cm；
⑤三条边分别为3cm、2cm和3.5cm；
⑥三个角分别为30°、60°和90°；
师生活动：教师根据学生的能力水平分组，组间同质，组内异质。允许学生选择纸笔画图，可以选择量角器、三角尺、直尺或圆规等不同画图工具；也可以选择使用电脑几何画板软件画图，还可以选择实物演示或者举反例的方法说明某三个条件确定时三角形是否全等。小组探究过程中要充分发挥集体智慧，随后要汇报探究结果，把画图后观察、验证后的发现条理化、结论化。在探究两边一对角的情况时，教师要善于因势利导，突破难点。
设计意图：考虑学生的个体差异，设置不同的学习方式，让所有学生都能参与到学习中来，发挥学生学习的主体性和教师的主导性。通过操作演示所画出的三角形是否重合，让学生确信满足某些确定的三个条件的三角形能够全等。
（四）归纳总结，深化理解
问题5 填写下面表格：
师生活动：学生在教师指导和同伴互助的环境下，梳理归纳四种判定三角形全等的方法。教师总结：
基本事实1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。简记为（或边角边）
基本事实2 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简记为（或角边角）
基本事实3 三边分别相等的两个三角形全等。简记为（或边边边）
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记为（或角角边）（后续学习过程中进行推理证明，本节课以探究判定方法为主）
设计意图：让学生补充完善表格内容，明确判定三角形全等的方法，增强对三角形全等的判定的理解，加深记忆。
（五）回顾反思，归纳提升
（1）回顾本节课的学习内容回答问题：为了探索两个三角形全等的条件，我们分别从一个条件、两个条件、三个条件相等入手，每种情况下进行了怎样的分类讨论，得出了什么样的结论？
（2）回到课前的问题情境中，你们能制作出一样全等的彩旗吗？说说你们的想法。
设计意图：探索三角形全等是一个开放性问题，如何从六个条件中选择部分条件简捷地判定两个三角形全等，怎样通过逐渐增加条件又正确地分类讨论，这对于思维水平正在逐步提高的八年级学生来说，会有一定的难度。所以，这一环节，不仅是回顾反思结论，更是回顾反思研究思路；不仅是总结提升三角形全等的判定方法，也是运用判定三角形全等解决生活中的实际问题，符合“无情境，无教学”的理念。
（六）对标检测，分层评价
课堂练习：教材69页1-3
设计意图：考查学生对全等三角形的定义和对应边、对应角的理解。
作业：
1.至少要 个元素分别对应相等，这两个三角形才能全等。
2.根据下列条件，能作出唯一三角形的是（ ）
A．AB＝3，AC＝4，∠B＝30°B．∠A＝50°，∠B＝60°，AC＝4
C．AB＝4，BC＝4，AC＝8D．∠C＝90°，AB＝6
3.△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
4.如图．在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：
（1）AB＝DE；
（2）BC＝EF；
（3）AC＝DF；
（4）∠A＝∠D；
（5）∠B＝∠E；
（6）∠C＝∠F．
以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（ ）
A．（1）（2）（5） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（4）（6）
设计意图：
基于双减政策下“减负增效”的作业目标，精编精选围绕学习主题的习题，确保难易有别，梯度合理。1-2题是点对点考查本节课的学习内容，3题考查内容联系了学生的识图判断能力，4题考查学生对三角形全等所有判定方法的掌握情况，答题情况能反映学生思维的条理性以及分析问题的能力水平。教师应结合学生作业情况给予必要的辅导，或在下一节课采取必要的措施，以确保学习效果。
八、板书设计
画图
版面

12.2 三角形全等的判定
一、只有一组相等的元素


二、有两组相等的元素
三、有三组相等的元素
十、教学设计说明评析
1. 以教材为中心，提升课堂教学的针对性
紧扣教材对“三角形全等判定”的知识定位，精准把握起始课“承前启后”的功能，既回顾教材中三角形全等的定义，又聚焦“判定条件简化”的核心需求，避免知识偏离。同时，结合教材内容，设计适配的情境问题（用定义判定全等需6个条件，能否减少），直接指向教材后续判定定理的推导逻辑，让课堂环节与教材知识体系高度契合，有效突破起始课“知识衔接不顺畅”的痛点，确保教学针对性。
2. 以学生为主体，增强数学学习探究性
教学设计充分尊重学生的认知规律，通过提出猜想—动手验证—归纳结论的探究流程，将学习主动权交给学生。例如，引导学生自主尝试减少1个条件（如只给1组边相等）、减少2个条件（如给1边1角相等）的画图实验，在对比所画三角形是否全等的过程中发现规律。这种设计避免了教师直接讲授判定思路的灌输式教学，让学生在亲身操作、合作交流中自主建构知识，既激发了探究兴趣，又培养了逻辑推理与动手实践能力。
3. 以核心概念为重心，强化数学学习整体性
以三角形全等的判定这一核心概念为统领，未局限于单一判定方法的讲解，而是立足单元视角，在起始课中搭建“判定条件数量”与“全等确定性关联”的知识框架。通过分析不同条件组合对全等判定的影响，帮助学生建立“条件有效性决定判定方法”的整体认知，一次性掌握四种判定方法的来龙去脉。对应相等
的元素
两边一角
两角一边
三角
三边
两边及其
夹角
两边及其中一边的对角
两角及其
夹边
两角及其中一角的对边
三角形是否一定全等
一定
（）
一定
()
相等的元素
一条边
一个角
三角形是否全等
否
否
相等的
元素
两条边
两个角
一边一角
边是角的邻边
边是角的对边
三角形
是否全等
否
否
否
否
相等的
元素
两边一角
两角一边
三角
三边
两边
夹一角
两边
一对角
两角
一夹边
两角
一对边
三角形
是否全等
是
（SAS）
否
是
(ASA)
是
否
是