2026届北京市第六十六中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

这是一份2026届北京市第六十六中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析，共4页。试卷主要包含了已知复数满足，下列命题是真命题的是，函数的定义域为等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．1C．或1D．或9
2．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A．B．C．D．
4．已知复数满足：（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
5．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
7．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
9．函数的定义域为（ ）
A．或B．或
C．D．
10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．(1,2),C．D．
12．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域为____.
14．函数的定义域为_____________.
15．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____
16．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
19．（12分）已知函数在上的最大值为3.
（1）求的值及函数的单调递增区间;
（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.
20．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点.
求椭圆的方程；
已知是椭圆的内接三角形，
①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长；
②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值.
22．（10分）在中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.
【详解】
解：由题意可得，
求得，或，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
2、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
3、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】
.
故选:D.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
4、A
【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出，再根据共轭复数的概念即可求解.
【详解】
由，则，
所以.
故选：A
【点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题.
5、C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】
由值域为确定的值，得，利用对称中心列方程求解即可
【详解】
因为，又依题意知的值域为，所以 得，，
所以，令，得，则的图象的对称中心为.
故选：B
【点睛】
本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0
7、D
【解析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D．
【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
8、D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
9、A
【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】
由题意可得，解得或.
因此，函数的定义域为或.
故选：A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
10、D
【解析】
因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得．
【详解】
因为双曲线分左右支，所以，
根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：，
即，由得．
故选：．
【点睛】
本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
11、A
【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】
已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
12、A
【解析】
设为、的夹角，根据题意求得，然后建立平面直角坐标系，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程，将和转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.
【详解】
由已知可得，则，，，
建立平面直角坐标系，设，，，
由，可得，
即，
化简得点的轨迹方程为，则，
则转化为圆上的点与点的距离，，，
，
转化为圆上的点与点的距离，
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由题意得，解得定义域为．
14、
【解析】
由题意可得，，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，，
解可得，，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题．
15、
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
16、
【解析】
设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.
【详解】
，设，，则.
原函数等价于函数，即有两个解.
设，则，函数为奇函数.
，函数单调递增，，，.
当时，易知不成立；
当时，根据对称性，考虑时的情况，，
画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，
根据对称性知：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (Ⅰ) .(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的解集为，等价于，求出在的最小值即可．
【详解】
(Ⅰ)当时，
时，不等式化为，解得，即
时,不等式化为，不等式恒成立，即
时,不等式化为，解得，即
综上所述，不等式的解集为
(Ⅱ)不等式的解集为
对任意恒成立
当时，取得最小值为
实数的取值范围是
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
19、（1）,函数的单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.
【详解】
解：（1）

由已知，所以
因此
令
得
因此函数的单调递增区间为
（2）由已知，∴
由得，因此
所以
因为为锐角三角形，所以，解得
因此，那么
【点睛】
本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式成立.
【详解】
（1），
不等式，即或或，
即有或或，
所以所求不等式的解集为.
（2），，
因为，，
所以要证，只需证，
即证，
因为，所以只要证，
即证，
即证，因为，所以只需证，
因为，所以成立，
所以.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.
21、；①；②.
【解析】
根据题意列出方程组求解即可；
①由原点为的垂心可得，轴，设，则，，根据求出线段的长；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，为的重心，则，设：，，，则，当斜率不存在时，则到直线的距离为1，，由，则，，，得出，根据求解即可.
【详解】
解：设焦距为，由题意知：，
因此，椭圆的方程为：；
①由题意知：，故轴，设，则，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
②设中点为，直线与椭圆交于，两点，
为的重心，则，
当斜率不存在时，则到直线的距离为1；
设：，，，则
，
，则
，
则：，，代入式子得：
，
设到直线的距离为，则
时，；
综上，原点到直线距离的最小值为.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知识，属于难题.
22、（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
解析：
（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.