2026届北京101中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析

这是一份2026届北京101中学高考数学考前最后一卷预测卷含解析，共4页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．偶函数关于点对称，当时，，求（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A．B．2
C．D．
5．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
7．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
8．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
9．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
10．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．设集合（为实数集），，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）
A．B．2C．4D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
14．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____
15．已知等差数列满足，，则的值为________．
16．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线与直线其中的一个交点为，且点极径.极角
（1）求曲线的极坐标方程与点的极坐标；
（2）已知直线的直角坐标方程为，直线与曲线相交于点(异于原点)，求的面积.
18．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
19．（12分）某社区服务中心计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：摄氏度℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为500瓶；如果最高气温低于20，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为（单位：瓶）时，的数学期望的取值范围？
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．
21．（12分）已知函数，它的导函数为．
（1）当时，求的零点；
（2）当时，证明：．
22．（10分）已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.
【详解】
，
即，即，
，，得，，.
由余弦定理得，
由正弦定理，因此，.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
2、D
【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.
【详解】
由于偶函数的图象关于点对称，则，，
，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，
由于当时，，则.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3、B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
4、A
【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO＝，再求原△ABC的面积.
【详解】
由题图可知原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案为A
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5、C
【解析】
作，；，由题意，由二倍角公式即得解.
【详解】
由题意，，准线：，
作，；，
设，
故，，
.
故选：C
【点睛】
本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
6、B
【解析】
求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；
【详解】
f （x）的定义域为（﹣1，+∞），
因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，
可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．
7、B
【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.
【详解】
由题意知：定义域为，
，为偶函数，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，则在上单调递减，
由得：，解得：或，
的取值范围为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.
8、A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
【点睛】
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
9、A
【解析】
，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论．
【详解】
解：已知直线平面，则“” “”，
反之，直线满足，则或//或平面，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力．
10、D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
【点睛】
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
11、A
【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
【点睛】
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
12、C
【解析】
设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.
【详解】
圆可化为.
设，
则的斜率分别为，
所以的方程为，即，
，即，
由于都过点，所以，
即都在直线上，
所以直线的方程为，恒过定点，
即直线过圆心，
则直线截圆所得弦长为4.
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】
因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
14、5.
【解析】
由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.
故答案为：5
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
15、11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，
又因为，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
16、
【解析】
从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.
【详解】
由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，
小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，
所以其概率为.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）极坐标方程为，点的极坐标为（2）
【解析】
（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可；
（2）只需算出A、B两点的极坐标，利用计算即可.
【详解】
（1）曲线C：(为参数，)
，
将代入，解得，
即曲线的极坐标方程为，
点的极坐标为.
（2)由（1），得点的极坐标为，
由直线过原点且倾斜角为，知点的极坐标为，
.
【点睛】
本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1），且，，依次成等比数列，，
即：，，，
，，
；
（2），
.
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）X的可能取值为300,500,600，结合题意及表格数据计算对应概率，即得解；
（2）由题意得，分，及，分别得到y与n的函数关系式，得到对应的分布列，分析即得解.
【详解】
（1）由题意：X的可能取值为300,500,600

故：六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列为
（2）由题意得.
1°.当时，
利润
此时利润的分布列为
.
2.时，
利润
此时利润的分布列为
.
综上的数学期望的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数与概率统计综合，考查了学生综合分析，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；
（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）由题可得，即，，
将点代入方程得，即，解得，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设直线，则直线，
联立，整理得，
所以，
联立，整理得，
设，则，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.
21、（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点；
当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明．
【详解】
(1)的定义域为
当时，，，
易知为上的增函数，
又，
所以是的唯一零点；
(2)证明：当时，，
①若，则，
所以成立，
②若，设，则，
令，则，
因为，所以，
从而在上单调递增，
所以，
即，在上单调递增；
所以，即，
故.
【点睛】
本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．
22、（1）或（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值即可；
（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.
【详解】
（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.
∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；
当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；
当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，
综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.
（2）当a＜﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；
当a≥﹣3时，，
∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.
∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.
最高气温
天数
4
14
36
27
6
3
300
500
600