【数学】浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考试题（学生版+解析版）

这是一份【数学】浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考试题（学生版+解析版），共100页。试卷主要包含了 若复数，则的虚部是， 已知，则的坐标为， 已知复数，则下列叙述正确的是， 已知向量，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为复数，则的虚部是，
故选：B.
2. 已知，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，则.
3. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A. 是棱台B. 是圆台
C. 不是棱柱D. 是棱锥
【答案】D
【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；
对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；
对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；
对D，符合棱锥的定义，正确．
故选：D．
4. 在△ABC中，角的对边分别为，已知，则∠A等于（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】B
【解析】由，又，
解得，.
故选：B.
5. 已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设与的夹角为，则，
，.
故选：B.
6. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（ ）
A. ③④B. ①②C. ①③D. ②④
【答案】A
【解析】因为平面，平面，且，
故直线与是异面直线，故①错误；
因为平面平面，平面，平面，
所以没有公共点，
又，不平行，故不平行，
即为异面直线，即四点不共面，
所以直线与也是异面直线，故②错误；
因为平面，平面，，
所以直线BN与是异面直线，故③正确；
因为平面，但平面，，
所以直线AM与是异面直线，故④正确．
7. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因是线段上的靠近A的三等分点，则.
8. 已知在中，内角所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由余弦定理得，
又，所以，所以，
所以由正弦定理得．
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 的实部为1B. 的共轭复数为
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A，的实部为1，正确；
对于B，的共轭复数为，正确；
对于C，，正确；
对于D，，错误.
10. 已知向量，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则且
D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】对于A：因为，所以，解得，故A错误；
对于B：若，则，
即，
所以，即，解得，故B正确；
对于C：因为与的夹角为钝角，所以，
且与不共线，解得且，故C正确；
对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.
11. 在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli，于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥SO（其中S为顶点，为底面圆心），已知圆锥的侧面积和表面积分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的母线长为
B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为
D. 若是的中点，过点且与圆锥底面平行的平面将圆锥分成两部分，这两部分的体积分别为，则
【答案】AC
【解析】设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
则，解得，则；
对A：圆锥的母线长为，故A正确；
对B：圆锥的体积，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，则圆锥的高为，底面半径为，
则，故，
即，故D错误.

三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，与的夹角为60°，则________.
【答案】10
【解析】.
故答案为：10.
13. 如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的面积是______.
【答案】
【解析】将直观图还原后，如图所示：
由，则，，
故.
14. 已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则实数的值为______．
【答案】
【解析】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，
所以方程的判别式小于零，即或，
由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：，
由根与系数的关系可得：，而，
因此有，解得.
或，舍去，满足题意.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值.
（2）设，向量与的夹角为，求的大小.
解：（1）由可得，解得，；
（2）由可得，，即，解得，
此时，，，，
则，因，故.
16. 已知复数，．
（1）若是纯虚数，求；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
解：（1）因为是纯虚数，所以，解得，
则，所以，故．
（2）由题意可得，解得，所以的取值范围为．
17. 在中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
解：（1）在中，由正弦定理，因为，
所以，又，
∴，所以，即，
因为，所以；
（2）因为，由余弦定理得，
∴，解得，则，
所以△ABC的面积.
18. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点.
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求证：四点共面.
解：（1）由题意，，.
在三角形中，，
所以，
所以.
（2），
因为三棱锥的高，
所以.
（3）连接，
因为分别为的中点，所以且.
因为是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，
即四边形是平行四边形，所以.
又，所以，所以四点共面.
19. 在中，角的对边分别为，已知
（1）求角
（2）过作，交线段于D，且，求角.
解：（1）由正弦定理得：．
∵，∴，
∴，
∴，
又，∴，又为三角形内角，∴．
（2）因为在边上，且，所以．
因为，所以，
即，
所以．
在中，由，，可得.