【数学】江苏宿迁市2025-2026学年高一第二学期期中质量监测试卷（学生版+解析版）

这是一份【数学】江苏宿迁市2025-2026学年高一第二学期期中质量监测试卷（学生版+解析版），共100页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
2. 在中，若，，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】由题可知，，，
而，
即.
故选：A.
3. 在中，已知，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】法一：由及正弦边角关系得，又，
所以，即，
由，则，且，即，
法二：，
综上，是直角三角形且，但不能确定的关系.
4. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：B
5. 已知，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设与的夹角为，
因为，所以.
又，所以，
所以，解得.
所以，所以.
所以，又，所以，
所以与的夹角为.
6. 在中，已知是边上一点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，
因为，所以，
在中，.
7. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
又，所以当时，.
8. 在中，已知，点在边上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，则，
在中，因，则.
由正弦定理得，即，
整理得，
两边取平方得，
由，可得，代入得，即.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9. 已知平面向量，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则
D. 若在上的投影向量为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，由与的夹角为钝角，可得且，
即，故C正确；
对于D，由在上的投影向量为，
可得，
则，故D正确.
10. 下列各式中，计算结果为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】对于A选项，，
，
所以，
，A是；
对于B选项，，B不是；
对于C选项，
，C不是；
对于D选项，
，D是.
11. 在中，角的对边分别为，，则（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 若，则的面积最大值为6
【答案】BC
【解析】对于A：因为，又，所以，
所以，即，
所以，即，
所以，故A错误；
对于B：因为，由正余弦定理得：，整理得：，故B正确；
对于C：因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
此时取到最小值，故C正确；
对于D：因为，，所以，
又因为，
又因为，
所以
，
所以当时，面积达到最大值为，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为实数，若，，，，是不共线的两个非零向量且三点共线，则________．
【答案】
【解析】因为，，
又，是不共线的两个非零向量，且，，三点共线，即，共线，
则，解得．
故答案为：．
13. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】，，
，，
．
故答案为：．
14. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________．
【答案】8
【解析】在中，，
由正弦定理得，
所以，
，
所以，则的面积为.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在边长为4的等边中，是边上的中线，为的中点，设，．
（1）试用基底表示；
（2）求的值．
解：（1）因为是的中线，所以，
又因为是中点，所以，
即；
（2）由题意，，
因为是等边三角形，与夹角为，
所以 ，
由.
16. 已知为锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）已知为锐角，由，
结合同角三角函数关系，解得：，
由二倍角公式，代入得：；
（2）因为为锐角，所以，
又，因此，
由同角三角函数关系得：，
因此，
又，由正切差角公式：，
代入得：.
17. 在中，分别为角的对边．
（1）若，求角的大小；
（2）若，，求的余弦值．
解：（1）由正弦边角关系得：，
所以
则，即，
所以（舍）或，故.
（2）设，因为，所以，
所以是等边三角形，
所以，即，所以，
在中，，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，且，
所以.
18. 在平面凸四边形中，．
（1）若．
①求的长；
②求四边形的面积；
（2）若，求的长．
解：（1）①，，即
由余弦定理得，，
代入得：，
化简得：，解得.
②设四边形的面积为，，
，
，
.
（2）如下图，过点作垂线交于，设，
，
四边形是矩形，，
对用勾股定理得：，
对用勾股定理得：，
对用余弦定理得：，
即，化简得，
两边平方得：，
再化简得：，
解得或4，，或2，
又是锐角三角形，，
即，得，.
19. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段的长分别为的倍，我们将称为的“变换三角形”．
（1）当时，若，求的长；
（2）若是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值；
（3）设点为的重心（三角形的三条中线的交点），证明：．
解：（1）如图，因，
则为直角三角形，则，
于是，
又，
在中，由余弦定理，，
故
（2）如图，设，
则，
，
，
因，
则
，
因，则当时，取得最大值为10；
（3）如图，设为的“变换三角形”，
则，
，
，
于是
.