江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学

这是一份江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.若展开式中常数项为90，则常数a的值为( ).
A. 4B. 2C. 8D. 6
3.已知三点，，，满足，则实数的值为（ ）
A. B. 1C. D.
4.的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
6.战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲､乙､丙､丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（）
A. 240B. 360C. 600D. 320
7.已知，则（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
8.在正方体中，点为线段的中点.点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列正确的是（）
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是（）
A. 由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B. 由数字1，2，3，4能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C. 由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D. 由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
11.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱上不存在点M，使平面
B. 异面直线与所成的角为
C. 二面角的大小为
D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则与的夹角为 .
13.在展开式中的系数 .
14.编号为的5个小球放入编号为的3个盒子，要求每个盒子都要放球同时小球的编号与盒子的编号不相同，则不同的放法共有 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
有8辆不同品牌的新能源汽车，其中有5辆车合格，3辆车不合格，现车辆检测中心每次抽一辆车进行检测，直到3辆不合格车全部检测出为止.
(1)求前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数；
(2)求最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的不同检测情形种数；
(3)若前2次检测都是不合格车辆，求最多有多少种不同的检测情形种数.
16.(本小题15分)
在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列.
(1)求展开式中的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
17.(本小题15分)
如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点，.求：
(1)直线与平面所成角的大小；
(2)点到平面的距离.
18.(本小题17分)
在直三棱柱中，，，，点M在线段上，．

(1)若为锐角，求实数的取值范围；
(2)若二面角的余弦值为，求线段AM的长度．
19.(本小题17分)
已知函数，其中.
(1)若，求的值；
(2)若，求；（用表示）
(3)若，求实数的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】240
14.【答案】48
15.【答案】解：（1）因为有3辆车不合格，
所以前3次检测恰好都是不合格车辆的不同检测情形种数为种；
（2）因为最后1辆不合格车正好在第6次检测时被发现的，
所以在前5次检测中，必须恰有2辆不合格的车被检测出，且前5次检测中，还包含3辆合格的车，
所以有种；
（3）前2次检测都是不合格车辆共有种，因为直到3辆不合格车全部检测出就停止，
所以由题意在第8次测出第3辆不合格的车，
即第3次，第4次，第5次，第6次和第7次各检测出1辆合格的车有种.

16.【答案】解：（1）二项式展开式的通项为.
其中，
前3项系数依次为，，.
由前3项系数成等差数列，得.
整理得，解得（舍去）.
令，即，解得.
代入通项得系数：.
（2）有理项要求为整数，即是4的倍数.
又，故.
：
：
：
所以所求有理项为

17.【答案】解：（1）因为多面体为正四棱锥,所以易得两两垂直.
所以
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系：
则
所以，,.
设平面的法向量.
由法向量与平面内向量垂直,得 即
令,则,.
所以平面的一个法向量
设直线与平面所成角为，则的正弦值等于.
所以，.
所以直线与平面所成角为
（2）由，所以
由（1）可知平面的一个法向量
所以
所以点A到平面PBC的距离为

18.【答案】解：以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
（1）设 由
得： ，所以
所以 ，
因为 为锐角，所以 ，即 且 ，所以
（2）因为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 .
令 得平面 的一个法向量为 .
平面 的一个法向量为 ，
所以 解之得： .
所以 即

19.【答案】解：（1）因为，
所以，解得；
（2）当时，，
两边求导得：.
令，所以
即；
（3）当时，，
则，
因为，
所以，
，
，
又因为，
所以.