山东济南市市中区2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测数学学科试题（含解析）

这是一份山东济南市市中区2025-2026学年第二学期七年级期中学业质量监测数学学科试题（含解析），共100页。试卷主要包含了不允许使用计算器等内容，欢迎下载使用。
试卷说明：本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、准考证号、座号等填在答题卡和试题规定的位置上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号提示的区域作答．在本试题上作答无效．
3．不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. 假设年我国量子计算技术取得重大突破，“祖冲之四号”量子芯片的单个量子比特操控精度达到秒．用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 秒B. 秒
C. 秒D. 秒
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数，据此判断即可．
【详解】解：∵原数是绝对值小于的数，科学记数法要求，
∴，
又∵原数第一个非零数字前面共有个零，
∴ ，
∴ ，
故选B．
2. 下列式子运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则及多项式乘法运算公式对每一选项进行计算，即可得到解答 ．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选B．
本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则或公式是解题关键．
3. 某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（ ）
A. 0.80B. 0.85C. 0.90D. 0.95
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90．
【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动，
∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90．
故选：C．
4. 如图，和相交于点，若，用“”证明还需（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，，，
若要用证明，则需要添加条件，
故选：．
5. 用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
【详解】解：A、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意；
B 、，能做成三角形框架，选项说法正确，符合题意；
C 、，不能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意；
D 、，能做成三角形框架，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系．
6. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定与性质，根据题意先整理得，再证明，即可作答．
【详解】解：点E，F分别为，中点，
，，
，
，
在和中
，
∴
故答案：B．
7. 已知中，，则为（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵，
∴中最大角为，
∵三角形内角和为，
∴ ，
∵最大角，
∴三个内角均为锐角，
∴是锐角三角形．
8. 如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．第1幅图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，第2幅图中阴影部分的面积等于梯形的面积，根据这两幅图形中阴影部分面积相等即可得出结论．
【详解】解：第1幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，
第2幅图中阴影部分面积等于梯形的面积，即为，
∵这两幅图形中阴影部分面积相等，
∴可以验证的公式是，
故选：B．
9. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出cm2，进而利用三角形面积公式得出CD的长，即可得出CE的长．
【详解】解：AD， AE分别是边BC.上的中线和高，AE= 2cm， ，
，
，
解得： CD= 4 (cm)，
，
CE= 4-1= 3(cm) ．
故选：C
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
10. 设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：①若@=0，则或；②@(+z)=@+@z；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大，其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式化简可判断①②，根据非负数的性质可判断③，根据二次函数的性质可判断④．
【详解】解：∵@
若@=0，则
或；
故①正确
@(+z)
@+@z
@(+z)=@+@z
故②正确；
@
若@
则
即
当时，成立，
故③不正确
，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，设周长为，则
@
当时，取得最大值，
即，整理得，
则当时，@最大，
故④正确
故选B
本题考查了新定义下的实数运算，完全平方公式，平方差公式，非负数的性质，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是____事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．
必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析．
【详解】“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
12. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可．
【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
13. 已知，，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14. 如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________．
【答案】或．
【解析】
【分析】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长．
【详解】解：∵实数满足，，，
∴，，
解得：，，
若是腰长，
∵，
∴以、、为边可以构成三角形，
∴的周长是；
若3是底边长，
∵，
∴以、、为边能构成三角形，
∴的周长是．
故答案为：或．
15. 如图，四边形中，，，，．点为线段的中点．点在线段上以的速度由B向C运动，同时点在线段上由C向D运动．当与全等时，则点的速度为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定定理可得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可．
【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，，
点为线段的中点，
，
，
当，时，，
即，，
解得，，
即此时点的运动速度为；
当，时，，
即，，
解得，，
即此时点的运动速度为；
综上所述，点的运动速度为或．
三．解答题（本大题共10个小题，共90分，请写出文字说明或演算步骤）
16. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】分别计算出每一项的值，再进行加减运算即可得到结果．
【详解】解：原式=−22+−1+1−3
=4−1+1−3
．
17. 化简：
（1）．
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可．
（2）先计算单项式乘以多项式和完全平方公式，然后合并即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
18. 简便计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
9991 （2）
39204
【解析】
【小问1详解】
解：
=100+3100−3
；
【小问2详解】
解：
=200−22
．
19. 已知在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，由平行线的性质可得，进而可证明．
（2）根据，，，可得，，代入即可求解．
【小问1详解】
证明：∵在同一条直线上，，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
20. 先化简，后求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式与整式的除法．
先利用完全平方公式、平方差公式计算中括号里面的，合并同类项，再作除法，然后将，代入求值．
【详解】解：
=
=
=
当，时，
原式=．
21. 2023年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱．某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有9枚，“宸宸”徽章有6枚，所有徽章除图案外完全相同．
（1）若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率；
（2）班会结束后，又补充了若干枚徽章，此时徽章总数变为枚．若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章．
【答案】（1）
（2）补充了枚“琮琮”徽章．
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式，用“宸宸”徽章的数量除以总徽章数量得到所求概率，
（2）设补充了枚“琮琮”徽章，根据概率公式列一元一次方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，总徽章数为枚，“宸宸”徽章共6枚，
故抽到“宸宸”徽章的概率为．
【小问2详解】
解：设补充了枚“琮琮”徽章，
由题意可得方程，
去分母得 ，
解得，
∴补充了枚“琮琮”徽章．
22. 按要求解答下列各题：
（1）数学课堂上老师留了道数学题，如图1，用式子表示空白部分的面积．
甲，乙，丙，丁4名同学表示的式子是：
甲：
乙：
丙：
丁：
①4名同学中正确的学生是___________；（填“甲”，“乙”，“丙”，“丁”）
②当时，求空白部分的面积．
（2）如图2，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿地的面积（用含，的式子来表示）．
【答案】（1）①丙、丁；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①结合图形表示出空白部分的面积，即可判断；
②将代入计算即可；
（2）根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：①空白部分的面积为：
，
丙、丁正确；
②空白部分的面积=10−1×6−1=9×5=45
【小问2详解】
解：根据题意得：7a+3b−3a6a−3b−2a=4a+3b4a−3b=16a2−9b2m2.
23. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的 A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）试说明：；
（2）求的长．（用含a，b的式子表示）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，余角，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
解：先推导出，，，得到，继而证明，则，即可解答；
（2）由，得到，则，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴
又∵．
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
【小问2详解】
∵
∴
∵
∴
答：的长为．
24. 【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；公式②：；公式③：；公式④：．
图1对应公式____，图3对应公式____．
【解决问题】
（2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题．
①已知，，求的值；
②化简．
【能力拓展】
（3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____．
（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
【答案】（1）①，④；（2）①；②；（3）32
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
（1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案；
（2）①利用（1）中的公式④即可得解；②利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解；
（3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解．
【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为，
∴，故图1对应公式①；
图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为，
∴，故图2对应公式②；
图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，故图3对应公式④；
图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，即，故图4对应公式③；
故答案为：①；④；
（2）①把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②
；
（3）设，，则有，，
把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
25. 【模型构建】
如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．如果把的腰看作大手，的腰看作小手，，可视作大手拉着小手，这就是“手拉手模型”．可探究和的数量关系．
探索思路如下：
，
（___________），
即（___________），
在与中，
，
（___________），
（___________）．
（1）请在上面（ ）中填写适当的理由．
【深入探究】
（2）如图②，和为等腰直角三角形，，判断直线、的数量关系和位置关系并证明：
【拓展应用】
（3）如图③，在中，，点为的中点，以为边在下方构造等边，连接，，．已知点到的距离为1，的面积为，求的值．
【答案】（1）等式性质；；；全等三角形的对应边相等
（2），；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形全等的判定与性质填空即可；
（2）延长与交于点H，类比（1）的证明方法，先证明，得到，，再证明即可；
（3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据已知先求出，然后证明根据全等三角形的判定与性质，逐步证明，，，即可求得答案．
【小问1详解】
解：，
（等式性质），
即，
在与中，
，
（），
（全等三角形的对应边相等）．
【小问2详解】
解：，．
延长与交于点H，
和为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
（），
，，
，
即．
【小问3详解】
解：以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，
点M到的距离为1，的面积为，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
点为的中点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
对于图形变换问题，要把握好图形变换前后解题思路的延续性，用类似的方法解答．