安徽省合肥市庐江县2026年中考一模九年级数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市庐江县2026年中考一模九年级数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了请在答题卡上答题，否则无效等内容，欢迎下载使用。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．请在答题卡上答题，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，负有理数是（ ）
A. B. C. 0D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据负有理数的定义（小于0的有理数）从选项中选出符合条件的数，熟知有理数包含整数和分数，无限不循环小数是无理数，不属于有理数．
【详解】解：∵负有理数是小于0的有理数，有理数是整数和分数的统称，
∴ A、是无理数，不符合要求；
B、，且是分数，属于有理数，因此是负有理数，符合要求；
C、0既不是正数也不是负数，不符合要求；
D、，是正有理数，不符合要求．
2. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024—2030年)》，预计2030年广东省低空经济规模将超过5000亿元．数据“5000亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，正确的确定的值即可．
【详解】解： 5000亿，
故选：D
3. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：它的俯视图是
．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方运算和同底数幂的除法运算逐项验证即可求解．
【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，选项计算错误；
B：，选项计算错误；
C：，选项计算错误；
D：，选项计算正确．
5. 一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由正方形及正五边形内角，结合平行线性质得到四边形中，，由四边形内角和为即可求出度数．
【详解】解：如图所示：
正方形的每一个内角为；正五边形的每一个内角为；
，
，
在四边形中，，则．
6. 《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据年平均增长率依次得到年的产业规模表达式，再结合已知条件列出方程即可．
【详解】解：年产业规模为亿元，年平均增长率为，
则年的产业规模为亿元；年的产业规模为 亿元；
∵预计年产业规模为亿元，
∴可列方程．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断根的情况
【答案】D
【解析】
【分析】利用根的判别式判断根的情况．
【详解】解：中，
，
令，解得或，
时，有两个相等的实数根；
当时，，没有实数根；
当时，，有两个不相等的实数根．
综上可得，无法判断根的情况．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断．
【详解】解：由抛物线可得，，
∴，
∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限
故D选项符合题意．
9. 如图，在矩形中，，分别平分和，E为的中点，和交于点G，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义可得到 ，，再根据等角对等边得到，，则，设,利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质推导出，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，设,
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10. 如图，在中，，，为边上一点，且满足最大内角与最小内角之差为，则的长为（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】分和，过点作于点，过点作于点，则，然后通过勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形进行求解即可．
【详解】解：若，如图所示，
∵，作，
∴，但此时不是最小角，故排除；
若，如图所示，过点作交于点，过点作交于点，则，
则，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，，则，
∴，
∴，
∴，
此时．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定多项式各项的公因式，再利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：
．
12. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
13. 在理想状态下，某型号电动自行车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图，则理想状态下，该电动自行车充满电最远骑行距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，将图象中、代入表达式解二元一次方程组即可得到与的关系式，令求解即可得到答案．
【详解】解：设电池剩余的能量与骑行里程之间的关系为，
将、代入得，
解得，
，
当时，，解得．
14. 已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为．
（1）______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______．
【答案】 ①. 1 ②. 或
【解析】
【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可；
（）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可．
【详解】解：（）代入可得，即，
∵，
∴，
∴；
（）抛物线顶点纵坐标为，
由题意得：，
∴或，
解得或，
由（）得，
∴，
∴或，
∴或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解分式方程：．
【答案】分式方程无解
【解析】
【详解】解：两边同乘以得，
，
解得，
检验：当时，
，
为分式方程增根，
故原分式方程无解．
16. 如图网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹）．
（1）将绕点C顺时针旋转得到对应，画出；
（2）以点C为位似中心，将作位似变换得到，和的相似比为（任意作出一种即可）．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形；
（2）根据位似图形的性质得到对应点，然后顺次连接可画出图形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求：
【小问2详解】
解：如图，或即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 近年来，安徽省援疆指挥部加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力新疆皮山县销售农产品．某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元．
（1）求A，B两款坚果礼盒的单价；
（2）某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元．
【答案】（1）A款礼盒单价是95元，B款礼盒单价是130元
（2）购买100盒礼盒，最多需花费10900元
【解析】
【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款礼盒的售价；
（2）设A款礼盒购买x盒，则B款礼盒为盒，根据B款不超过A款的确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最多花费．
【小问1详解】
解：设A款礼盒单价是a元，B款礼盒单价是b元，
则可列方程组为，
解得．
答：A款礼盒单价是95元，B款礼盒单价是130元．
【小问2详解】
解：设A款礼盒购买x盒，则B款礼盒为盒，
由此可得，
解得．
设总费用为w，则．
w随x增大而减小，
当，w有最大值，．
答：购买100盒礼盒，最多需花费10900元．
18. 能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数：
第一类：，，，．
第二类：，，，．
（1）任写一组勾股数满足第一类形式为________；
（2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案；
（2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可．
【小问1详解】
解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61，
∵，，
∴，
故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）；
【小问2详解】
解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则．
证明：，
，
∴，
m为偶数，且，故和为正整数，
∴是一组勾股数．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，随机抽取若干名学生进行测试，并根据测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）结果绘制了两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了________名学生，样本的中位数是________，众数是________；
（2）求出扇形统计图中“10分”组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有2100名学生，请估计有多少名学生得分为优秀．
【答案】（1）30；8；7
（2）
（3）估计该校有560名学生得分为优秀
【解析】
【分析】（1）由得8分、9分、10分三组总人数除以它们的百分比的和可得调查人数，再根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）由乘以“10分”组所占比例求解即可；
（3）由总人数乘以样本中得分为优秀所占比例即可求解．
【小问1详解】
解：调查人数为（名），
将得分从大到小排列，∵，，
∴第15、16个数都是8，
∴中位数为（分），
∵得7分的人数是（名），人数最多，
∴众数是7分；
【小问2详解】
解：表示“10分”组的扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计该校有560名学生得分为优秀．
20. 某房屋在水平面上如左图所示，右边是它的示意图，它是由矩形和组成，，，，从A处测C处仰角为，测O处仰角为，求O到的距离．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】O点到距离约为
【解析】
【分析】过O点作，交于点M，交于点N．由等腰三角形三线合一得．结合，可得，进而得出．再利用三角函数解即可．
【详解】解：如图，过O点作，交于点M，交于点N，则，
在中，，，
．
，，
．
又，
，
．
在中，，，，
，
．
答：O点到距离约为
六、（本题满分12分）
21. 【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为．
（1）分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象；
（2）根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）；
（3）当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________．
【答案】（1），，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，分相遇前、相遇后两种情况求；由矩形面积公式直接表示；并利用描点法在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象即可；
（2）数形结合，找出图象在图象下方对应的自变量的范围即可；
（3）数形结合，找出封闭图形上的所有格点及函数或图象上，代入简单概率公式计算即可求解．
【小问1详解】
解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，
点相遇的时间为（秒），
在相遇前，即时，；
在相遇后，即时，；
综上所述，；
以为一边的矩形面积为，，
；
由描点法画出图象，如图所示：
；
【小问2详解】
解：当时，即，
图象在图象下方，
联立，解得或（负值舍去）；
，
当时，；
【小问3详解】
解：如图所示：
则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为．
七、（本题满分12分）
22. 矩形中，E为边上一点，F为矩形内一点，且，，延长与直线交于点Q，与直线交于点H，延长与直线交于G点．
（1）如图1，当E为中点时，
①求证：；
②若，，求长；
（2）如图2，若，当G恰好为中点时，求证：．
【答案】（1）①见解析；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①先证明，，进一步可得结论．
②证明，以及．设，则，则，，进一步求解即可．
（2）由（1）可知，，证明，进一步可得．设，则，，进一步求解即可．
【小问1详解】
证明：①E为BC中点，
．
又，
．
，，且，
∴，
，
．
又∵，
，
∴，．
②由①可知，，，
，
∵，，
，
，．
，
∴，
∴．
设，则，则，
，
，，
，
解得，（负根舍去）
．
【小问2详解】
证明：由（1）可知，，，
∴，
，
∵，，
∴，
．
，
．
设，则，，
∴，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
∴，
，，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线经过点，与y轴交点B在负半轴，，抛物线的顶点为C．
（1）求的值；
（2）当时，，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，函数最大值与最小值的差为2，求n的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求得，再将代入可得结论；
（2）先根据题意得到直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线交于和两点，则可得抛物线对称轴为直线，进而可求得a、b值，求得抛物线的最小值可得答案；
（3）根据二次函数的图象与性质，分类讨论求得最大值和最小值，进而可列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与y轴交点B在负半轴，，
∴，则，
将代入，得，
；
【小问2详解】
解：∵抛物线经过点，且当时，，
∴直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线交于和两点，
故抛物线对称轴为直线，
此时，，
代入，可得，
故抛物线解析式为，
由于直线与拋物线没有交点，故；
【小问3详解】
解：当时，，当时，．
抛物线对称轴为直线，当时，即时，在时，随增大而减小，此时，
解得，与假设矛盾，舍去；
当时，在时，随增大而增大，
此时，解得，与假设矛盾，舍去；
当，，即时，函数最小值为，
当，即，
时，解得，，
，∴取；
当，即时，
，解得，，
故取．
综上所述，当或时，函数最大值与最小值差为2．