精品解析：广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

这是一份精品解析：广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 已知是单位向量，且，则等内容，欢迎下载使用。

2023年春季期玉林市高一期末教学质量监测数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据复数的除法运算法则，可得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
2. 在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
B. 调查一批玉米种子的发芽率
C. 调查一批炮弹的杀伤半径
D. 调查一个县各村的粮食播种面积
【答案】D
【解析】
【分析】利用全面调查的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，
对于A，调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例，调查数目较多，不适合全面调查；
对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，不适合全面调查；
对于，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，且具有破坏性，可以使用抽样调查；
对于D，调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查.
故选：D.
3. 若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（ ）
A. 直角梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断；
【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形，
又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形；
故选：C
4. 如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中由正弦定理算出，在中，得到.
【详解】在中, ，，所以，又，由正弦定理可得,
,
,
在中，,
所以，（m）
故选：C.
5. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图可得原图形，即可根据圆锥的表面积公式求解.
【详解】由题意，可得原图形的图形如图所示，

其中，则，
绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为以为底面圆半径，为高的圆锥，
该圆锥的底面半径为1，母线长为，
所以圆锥的表面积.
故选：D
6. 一个盒子里装有标号为的5张标签，无放回的随机选取两张标签，则两张标签上的数字为相邻整数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列出总的基本事件的总数，其中两张标签上的数字为相邻整数的事件数，利用列举法即可求概率.
【详解】由题意得：总的基本事件为，共10个.
其中两张标签上的数字为相邻整数的事件为，共4个.
所以两张标签上的数字为相邻整数的概率是.
故选：C.
7. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间线与线、线与面、面与面的位置关系逐项判断即可.
【详解】解：A项中，若，，，则平面有可能平行，也有可能相交，故A项错误；
B项中，若，，则或，故B项错误；
C项中，若，，则直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C项错误；
D项中，若，，则，故D项正确.
故选：D.
8. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用平面向量的共线定理求得，再结合向量的数量积和向量模的运算公式，即可求解.
【详解】在中，由，为上一点，
且满足，则，
又由三点共线，则，即，
因为，
则，
则的值为.
故选：C.
二､多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 沙糖桔网店2022年全年的月收支数据如图所示，则针对2022年这一年的收支情况，下列说法中正确的是（ ）

A. 月收入最大值为90万元，最小值为30万元
B. 这一年的总利润超过400
C. 这12个月利润的中位数与众数均为30
D. 11月份的利润最大
【答案】AC
【解析】
【分析】由收入折线图判断A；根据给定的收支折线图求出利润表，再判断BCD作答.
【详解】观察图象知，月收入最大值为90万元，最小值为30万元，A正确；
由图可知，月份的利润表，
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
利润/万元
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
因此月份的总利润为，B错误；
由利润表可知，这12个月利润的中位数与众数均为30，C正确；
由利润表可知，7月份的利润最大，D错误.
故选：AC
10. 已知是单位向量，且，则（ ）
A. 与垂直 B.
C. 与的夹角为 D. 在上投影向量的坐标为
【答案】AD
【解析】
【分析】向量的坐标运算，结合向量数量积的定义和运算法则，对夹角、模、投影进行运算.
【详解】，因为是单位向量，
所以，所以，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
因为，
设与的夹角为，所以，
所以与的夹角为，故错误；
在上的投影向量坐标为，所以D对.
故选：AD.
11. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有2个解
B. 若，则
C. 若，则为直角三角形
D. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理及边角关系判断A、B；利用边角关系及三角恒等变换化简条件为，即可判断C；由已知得，利用三角恒等变换得到关于A的正弦型函数，进而求范围.
【详解】：由正弦定理得，则，此时无解，错误；
B：，则，又，所以，故正确；
C：因为，所以，
即，
所以，又，所以，
所以，所以，即为直角三角形，故正确；
：因为，所以.
所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，则，故的取值范围为，正确.
故选：BCD.
12. 如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（ ）

A. 点与点到平面的距离相等
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 二面角的余弦值为
D. 平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面平行判断A选项,应用线面角判断B选项,根据二面角判断C选项,结合截面判断D选项.
【详解】对于，如图1所示，取的中点，连接，
则有平面,平面,平面.
.，,平面.平面平面,平面,平面,,
所以平面平面.
又因为平面，所以平面，点与点到平面的距离相等，故正确；

对于，如图2所示，连接，又平面，所以为直线与平面所成角，由已知得：，
所以中，，即B错误；

对C，如图3所示，因为平面，作交延长线于，
连接，则，故设二面角的平面角为，
由得，
所以，即C正确；
对于D，如图4所示，连接，延长交于点，
因为分别为的中点，所以，
所以四点共面，所以截面即为等腰梯形.
，梯形的高为，
所以梯形的面积为，故D正确.

故选：ACD
三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设与的两边分别平行，若，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据等角定理即可得到答案．
【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
所求角为或.
故答案为：或.
14. 我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_____________石（结果四舍五入保留整数）；
【答案】
【解析】
【分析】求出米内夹谷的比例，再乘以即可得解.
【详解】依题意可得米内夹谷的比例为，
所以这批米内有谷子石.
故答案为：.
15. 若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为__________.
【答案】##6.5
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算可得垂直关系，即可由模长求解得面积.
【详解】由题意，得，则，，
的面积为，
故答案为：.
16. 如图，四边形为菱形，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为 _________.

【答案】
【解析】
【分析】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，利用等体积法求得；又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，可求得，再结合球的表面积公式即可求解.
【详解】由已知得三棱锥是棱长为正四面体，其内切球的半径为，其外接球的半径为，
由内切球球心与正四面体的表面构成四个三棱锥，由体积分割可得，解得；
又正四面体的棱长可看成是正方体的面对角线，外接球的直径即为体对角线的长，即有，即，则，
则三棱锥的内切球与外接球表面积的比为：.
故答案为：.
四､解答题（共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 甲､乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）2人中恰有1个人译出密码的概率；
（2）2人中至少有1人译出密码的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算；
（2）利用互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式计算；
【小问1详解】
设“甲独立地译出密码”，“乙独立地译出密码”，“甲不能独立地译出密码”，“乙不能独立地译出密码”，“2人中恰有1个人译出密码”，
为相互独立事件，与与与相互独立
且，
且两个事件为互斥事件，

【小问2详解】
设“2人中至少有1个人译出密码”，
方法一：.
方法二：.
18. 已知复数，其中为虚数单位.
（1）当实数取何值时，复数是纯虚数；
（2）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的概念，结合题意列出方程组，即可求解；
（2）根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由复数
因为复数是纯虚数，则满足，解得，
故当实数时，复数是纯虚数.
【小问2详解】
解：因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，
则满足，解得，
故实数的取值范围为.
19. 如图，在正方体中为的中点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）若为的中点，求证：平面平面.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；
（2）根据面面平行的的判定进行证明.
【小问1详解】
正方体中为的中点，
底面；
【小问2详解】

方法一：证明：如图，连接，设交于点是的中点，是的中点，
，且平面平面平面；
是的中点，是的中点，四边形为平行四边形，
，且平面平面，
平面，且，平面,平面,
平面平面.
方法二：连接，且
中，且平面平面平面；
又中，且平面平面，
平面；且，平面,平面,
平面平面.
20. 在中，分别是角的对边，.
（1）求角的大小；
（2）若是的内角平分线，当面积最大时，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，再利用余弦定理即可求解；
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，从而求得当面积最大时，再结合正弦定理即可求解.
【小问1详解】
因为，得，
所以，又，所以；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，将
代入得，
，
所以，当且仅当时，即，
所以.
此时.
在中，，
由正弦定理得，解得，
故的长为.
21. 某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的300名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.

（1）求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；
（2）学校要求按照分数从高到低选拔前30名的学生进行培训，试估计这30名学生的最低分数；
（3）试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为52分和94分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？
（参考公式：，其中为各组频数；参考数据：）
【答案】（1），75分
（2）90分 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先由各组的频率和为1，求出，然后利用平均数的定义可求出，
（2）先求出这30 名学生的最低分数就是该次校内测试分数的90%分位数，然后利用百分位的定义求解即可，
（3）先利用方差公式求出方差后再判断即可
【小问1详解】
，所以，
所以该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：
分.
【小问2详解】
因为，
所以这30名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数.

该次校内考试测试分数的分位数为
这30名学生的最低分数的估计值为90分.
【小问3详解】

，
，
得分为52分的同学的成绩没有进入到内，
得分为94分的同学的成绩进入到了内.
即：得分为52分的同学的成绩没有进入到范围，
得分为94分的同学的成绩进入到范围了.
22. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，为线段的中点，点为棱上的动点.

（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面.
①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值；
②在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的而判定定理证明即可；
（2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当 NF ^ PC 时， NF 最短，此时，点 H 在棱 BP 上，然后通过解三角形求得相关线段长，继而求得的值.
【小问1详解】
证明：连接 BD ，

∵四边形 ABCD为菱形，∴ AD = AB ， BC ∥ AD ，
∵ ÐBAD = 60° ，∴为正三角形；
∵ 为正三角形，且 E 为 AD 中点，
∴ AD ^ PE ，且 AD ^ BE ，
∵ PEBE = E ，∴ AD ^ 平面 PBE ，
∵ BC ∥ AD ，∴ BC ^ 平面 PBE ，
∵ BC Ì 平面 PBC ，∴平面 PBC ^ 平面 PBE .
【小问2详解】
①取CD 的中点 M ，连接 BM ， FM ，

∵ F 为 PC 中点，∴ MF ∥ PD ，MF =，
∴ÐBFM 就是异面直线 BF 和 PD 所成的角或所成角的补角.
∵平面 PAD ^ 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD = AD， PE^AD，
∴ PE ^ 平面 ABCD，∴ PE ^ BE ，
∵菱形 ABCD的边长为 2， ，
∴ 与 是全等的正三角形，
∵ M 、 E 分别为CD 、 AD 的中点， ∴ PE = BE = BM=，
∴在 中，，
在中，，
∴ ，
∴在 中，;
②设为平面内一点，延长CB 到点 N ，使得 BN = BC=2 ，

∵ BC ^ 平面 PBE ，
∴ ，∴CH = NH ，
∴CH + FH = NH + FH ,
∵ ，∴要使CH + FH最小只需 NF 最短即可，
由于点为棱上的动点.，故当 NF ^ PC 时， NF 最短，此时，点 H 在棱 BP 上，
在 中，，∴，
在 中， ，
∵ÐPCB = ÐFCN ，∴，∴，∴ ，
∵，
∴在 中，，
∴BH = BP - HP = ，∴ ，
∴当 H 在线段 BP 上，且满足时，可使CH + FH的值最小.