福建福州市福清市2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得.
2. 若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，单位向量的方向不同时，不满足；
对于B选项，，故不满足；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，两个单位向量满足，故正确.
故选：D
3. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】在中，设，，，
所以由余弦定理得，
因为为的内角，所以.
4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是，其中，则原图形的面积为（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【详解】直观图为直角三角形，
由斜二测规则，轴与轴夹角为，所以直观图中三角形为等腰直角三角形
因为,所以，
由斜二测画法原理，还原平面图形如下:
，则原图形的面积为.
5. 已知复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. 2D. 2i
【答案】C
【解析】
【详解】.
则z的虚部为2.
6. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为在中，，则，
所以由正弦定理得，即，
解得.
7. 在中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由正弦定理得，即，解得，
又因为，则，，
由题意知AC→csA=12AC→=14AB→，
所以向量在向量上的投影向量为(AC→csA)AB→AB→=(14AB→)AB→AB→=14AB→.
8. 在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，利用余弦定理求解三角形即可得到答案.
【详解】设台风中心为B，为台风经过的路径所在的直线，则，
过A作于C，则AC=ABsin45°=400×22=2002km ，
，
∴气象台所在地会受到台风的影响，
设以A为圆心，以为半径的圆与直线交于E，F两点，
设，
由余弦定理得是方程的根，
方程整理得，，，
则，
则气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】不存在使1,3=λ1,2或3,5=λ1,2成立，所以A，C正确；
可知2,4=21,2，4,8=41,2，所以B，D错误.
10. 下列命题正确的有（ ）
A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
C. 一条直线和一个点确定一个平面D. 四边形可以确定一个平面
【答案】AB
【解析】
【详解】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确；
对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确；
对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误；
对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误．
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 若复数z满足，则
B. 若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为
C. 在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限
D. 若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示结合向量的坐标运算求解；对于C：根据共轭复数的定义结合复数的几何意义分析判断；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解.
【详解】对于选项A：例如也满足，故A错误；
对于选项B：因为，，所以，
所以向量对应的复数为，故B正确；
对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C正确；
对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【详解】V台=13ℎS+SS'+S'=13×6×(4+4×9+9)=38 ．
13. 已知复数，则__________.
【答案】1
【解析】
【详解】，
则.
14. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【详解】由余弦定理得，
即，即，即，解得或（舍去）.
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于直线上，求复数z.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数实部为0，虚部不为0，代入求解，即可得答案.
（2）先求出复数z在复平面内对应的点坐标，代入直线方程，计算求解，即可得答案.
【小问1详解】
若z为纯虚数，则m2+2m−3=0m2−1≠0，解得.
【小问2详解】
复数z对应的点坐标为，若该点在直线上，
则，整理得，解得或.
当时，；
当时，.
16. 已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm.
（1）若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积；
（2）若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？
【答案】（1） （2）不会溢出
【解析】
【分析】（1）分别计算出圆柱的侧面积、一个底面的面积、及圆锥的侧面积，相加即可得剩下几何体的表面积；
（2）用水的体积加上圆球在水中部分的体积，与圆柱的体积比较可得.
【小问1详解】
由题可知，圆柱的底面积为πr2=400πcm2，
圆柱的侧面积为2πrℎ=800πcm2，
与圆柱同底等高的圆锥的母线长为ℎ2+r2=202cm ，
所以其侧面积为π×20×202=4002πcm2.
所以剩下的几何体的表面积为400π+800π+4002π=1200+4002πcm2.
【小问2详解】
由题意得，圆柱的体积为πr2ℎ=8000πcm3，
圆球在水中的部分的体积为23×43π×83=4096π9cm3.
因为7544π15000 ，
所以8000π−15000+4096π9=8000π−4096π9−15000>0 .
所以水不会溢出来.
17. 如图，在平行四边形中，，，.设，.
（1）用，表示，，；
（2）用向量方法证明；
（3）如果，，有怎样的位置关系？证明你的结论.
【答案】（1）EF⃗=−12a→+13b→,EG⃗=12a→+13b→,GD⃗=−a→+23b→
（2）证明见解析. （3）,证明见解析.
【解析】
【小问1详解】
由已知，，.
因为是平行四边形，所以，.
又，故.
EF⃗=AF⃗−AE⃗=13b→−12a→=−12a→+13b→.
EG⃗=AG⃗−AE⃗=a→+13b→−12a→=12a→+13b→.
GD=AD−AG=b−a+13b=−a+23b.
【小问2详解】
由（1）知，.
观察得GD=2−12a+13b=2EF.
故与共线，又因为EF,GD 不重合，因此.
【小问3详解】
当时，.证明如下:
由（1）可知，.
所以EF⋅EG=−12a+13b⋅12a+13b
代入，得，所以
.
因此.
18. 已知的内角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求的周长；
（3）若的面积为，求a的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
由余弦定理可得.
已知，即.
代入得，又，故.
【小问2详解】
已知，，，
由正弦定理，得，，
sinC=sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6=22×32+22×12=6+24,
所以，
的周长为.
【小问3详解】
由面积公式，
代入，得，
由余弦定理，
结合基本不等式，得，即，
当且仅当时取等号，故的最小值为.
19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为.
（1）证明：；
（2）若的面积为，，，求b，c；
（3）是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，的取值范围为
【解析】
【分析】（1）取的中点，在和中分别用余弦定理表示，再相加消去角的余弦值得到中线长公式.
（2）先由中线公式求，再结合面积公式与余弦定理求和，从而确定.
（3）将代入中线公式，并结合余弦定理把化为只含的表达式，再由三角形存在条件求范围.
【小问1详解】
取的中点，则，且.
设，则. 在中，
由余弦定理得.
在中，由余弦定理得.
两式相加，得，所以.
【小问2详解】
由第（1）问结论和，，得，解得，即.
又由余弦定理得，所以，即.
因为的面积为，所以，即.
将两式平方相加，得，所以.
又，所以，即.
因此是方程的两个根，故.
【小问3详解】
存在. 若，由第（1）问结论得，整理得，即.
由余弦定理得.
令，其中，则.
因为，所以，当且仅当时等号成立.
另一方面，三角形存在时必须有，所以.
由可知，只要，就能取到对应的三角形；由三角形三边关系可得.结合可知，所以的取值范围为.
因此存在这样的三角形，此时的取值范围为.