重庆市渝西中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市渝西中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据排列数公式即可得答案.
【详解】根据排列数公式可得，
故选：C
2. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据，可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，由题意得
，即.
故选：A.
3. 将A，B，C，D，E五个字母排成一排，且A，E均不排在两端，则不同的排法共有（ ）
A. 108种B. 72种C. 36种D. 18种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定字母A，E的位置，然后再排列其他字母即可.
【详解】因为字母A，E不能排在两端，则有种排列方式，
B，C，D有种排列方式，所以不同的排法共有种排法.
故选：C
4. 设F为抛物线C：的焦点，则F到其准线的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程求解出焦点和准线方程，则结果可知.
【详解】因为抛物线方程，所以焦点为，准线为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B.
5. 已知数列为等比数列，，，且，则实数（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列前项和公式的特点可得答案.
【详解】因为数列为等比数列，所以也为等比数列，
设数列的公比为，则，
因为，所以，，
所以，
故选：D
6. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
7. 如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A. 480B. 720C. 1080D. 1200
【答案】D
【解析】
【分析】分类讨论按照O，A，B，C，D，E的顺序按题意要求去依次涂色即可解决.
【详解】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
最后E有2种涂色方法；
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法.
综上，涂色方法总数
故选：D
8. 已知,若在上恒成立，
则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为在上恒成立，令，用导数法求解.
【详解】解：因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，
则，
令，则或，
当，即时，，则在上递增，
又，所以在上恒成立，
当，即时，或时，，递增，
时，，递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以，不成立；
当，即时，或时，，递增，
时，，递减，
所以在上的最小值为，
因为，所以成立；
综上：，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极大值为，极小值为
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的单调减区间为
D. 曲线在点处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.
【详解】因为，所以，
由，得或，由，得，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，
增区间不能合并，故选项C正确，选项B错误；
所以当时，取得极大值，
在时，取得极小值，故选项A正确；
因为，所以曲线在点处的切线方程为，
即，故选项D正确.
10. 现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有不同的安排方法有种
B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【答案】ABD
【解析】
【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得；
【详解】解：根据题意，
对于A：，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，
每个学生有4种选法，则三个学生有种选法，故A正确；
对于B：三人到4个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去，
即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种，
则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，故B正确；
对于C：若同学必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可，
有种安排方法，故C错误；
对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，故D正确；
故选：ABD．
11. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A. B. 当n为奇数时，
C. 数列为等比数列D. 数列的前项和小于
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数新定义即可知，，，可得A正确，由可得B错误；易知小于的所有正奇数与均互质,共有个，可得C正确；同理可得，利用等比数列前项和公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为，，，所以，故A正确；
对于B，由于，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，
所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理小于的所有3的倍数与均不互质，共有个，
因此小于的所有与互质的数共有个，即，
所以，令，
则，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有_______种（数字作答）
【答案】36
【解析】
【详解】将3名学生捆绑，并排列，再与2名老师一起排列，共有种排法.
13. 若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围.
【详解】解：由题意得：
是已知双曲线的左焦点
，即
双曲线方程为
设点，则有，解得
，，

根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增
当时，取得最小值，
故答案为：
14. 已知函数，在曲线上总存在两点，，使得曲线在，两点处的切线平行，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】求得函数的导函数，根据两直线平行结合导数的几何意义可得，化简可得，，构造函数，利用导数求得函数的范围，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为在曲线上总存在两点，，使得曲线在，相两点处的切线平行，
所以，且，
即，
所以，
所以，
令，则，
设，
则，
当时，，
所以函数在上递增，
所以
所以，
又，，
又因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在递增的等比数列中，，，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答.
（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.
【小问1详解】
由，等比数列是递增数列，得，
因此数列的公比，则，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）得，，
.
16. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?
（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?
（3）在组成五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?
【答案】（1）36个（2）36个（2）49个
【解析】
【分析】（1）先排个位数，方法数有种，然后排万位数，方法数有种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.
（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排；
（3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个.
【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；
（2）在组成五位数中，数字1和3相邻的个数有个；
（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，
比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.
【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题.
17. 已知四棱锥中，平面，，，点在棱上，平面．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分别为，的中点，结合得，又即可证得；
（2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然后利用向量夹角公式求得结果.
【小问1详解】
过作的平行线交于点，连接，
又，则，则四点共面，
∵面，面，面面，
∴，故为平行四边形，从而，
∴，分别为，的中点，又，
∴，又，∴．
【小问2详解】
因为，，所以，
由平面，平面，得，
又，面，所以面，又面，所以．
所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设，
则有．
所以，，
设面的法向量为，则，令，所以．
又有，记为与平面所成角，
则．
所以与平面所成角的正弦值为．
18. 已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）① 证明见解析；②存在；或
【解析】
【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可.
【小问1详解】
令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
【小问2详解】
设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
19. 已知函数，．
（1）若曲线在处的切线斜率为1，求的值；
（2）讨论的零点个数；
（3）若时，不等式恒成立，求最小值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；
（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；
（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值.
【小问1详解】
，
依题意，，解得．
【小问2详解】
的零点的根．
设，
①当时，没有零点；
②当时，，所以在内是增函数．
取，取，
所以在上有且仅有一个零点；
③当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而．
当时，没有零点；
当时，在上有且仅有一个零点；
当时，，
取，取，
所以在上有两个零点．
综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．
【小问3详解】
，
构造函数，则．
而， 令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时．
因为当时，单调递减，故，
两边取对数得，，所以，
令，则，
令得，，令得，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
故a的最小值是．