2026青海湟川中学高三下学期第一次模拟考试数学含解析

这是一份2026青海湟川中学高三下学期第一次模拟考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数，则共轭复数
A．B．C．D．
2．已知命题，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．设，则（ ）
A．1B．2C．31D．32
4．设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ）
A．16B．8C．4D．2
5．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ）

A．
B．估计评分的平均数为76.5
C．估计评分的第25百分位数为65
D．评分在的人数约为20
6．如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（ ）
A．B．1C．2D．
7．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设数列的前项和为，且，，则（ ）
A．数列是等比数列B．
C．的前项和为D．
10．已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在区间上单调递减D．为偶函数
11．如图，在五边形中，四边形为正方形，，，F为AB中点，现将沿折起到面位置，使得，则下列结论正确的是（ ）

A．平面平面
B．若为的中点，则平面
C．折起过程中，点的轨迹长度为
D．三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
12．______
13．已知，求的取值范围______________．
14．若，已知数列中，首项，，，则_____.
四、解答题
15．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，，边上存在一点，满足，求的长.
16．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点.
(1)若点为线段 的中点，求证:直线平面 ；
(2)若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值.
18．已知抛物线的焦点到准线的距离为1，过轴下方的一动点作抛物线的两切线，切点分别为，且直线刚好与圆相切.设点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点的轨迹方程；
(3)设曲线与轴交点为，点关于原点的对称点为，记直线的斜率分别为，证明：是定值.
19．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，且，证明：．
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
参考答案
1．B
详解：由题意可得：，
则其共轭复数.
本题选择B选项.
2．B
【详解】，，即
，即，，则，即，
所以是的必要不充分条件.
3．C
【详解】令得：，
令得：，
所以.
4．A
【详解】设等差数列的公差为，则有，
即，由，，成等比数列，则，
即，化简得，
由，则，即有，解得，
故.
5．C
【详解】对A，由频率之和为1得，解得，故A正确；
对B，平均数为，故B正确；
对C，评分在的频率为，评分在的频率为，
评分的第25百分位数对应累计频率为，落在组内，
故第25百分位数为，故C错误；
对D，评分在的频率为，则其中人数约为 ，故D正确.
6．A
【详解】设，则
，
同理设，则.
由平面向量基本定理得，解得，所以，
向量在上的投影向量的模为
，
而，当且仅当时取等号，
所以在上的投影向量的模取得最小值时，.
7．A
【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
8．A
【详解】由可得定义域为，且，
当且时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以：是极大值点，；
当时，；当时，；
由此可作出函数的图象：
令，则原方程可化为：，
得或，
原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个；
结合的图象可得的图象：
由题意知以及，故，且，
结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根，
需满足且，即得，此时有1个解，有3个解，
即.
9．AC
【详解】，当时，，得.
当时，，即.
是以为首项，公比为2的等比数列，，A选项正确，B选项错误.
，
记，数列的前项和
，C选项正确.
因为，是以1为首项，公比为4的等比数列，
，D选项错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且，
又的图象关于对称，则，
令，则，故A正确；
由，得，
则，故B正确；
由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减，
又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，
即在区间上单调递增，故C错误；
因为，即，
所以，故，
因此函数为偶函数，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】对于A：由题意得，所以，即，
而已知，且注意到，，平面，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，故A正确；
对于B：因为为的中点，所以，又，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；

对于C：

因为四边形为正方形，，，所以，
过点作交于点，则，
所以折起过程中，点的轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，
所以点的轨迹长为，故C错误；
对于D：连接，则，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又四边形为边长为的正方形，则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，
又四边形外接圆的直径为，，
设四棱锥的外接球的半径为，则，即，
所以，
所以外接球的体积，
即三棱锥的外接球的体积为，故D正确.
故选：ABD

12．
【详解】
．
13．
【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆，
令，即，
由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得.
即的取值范围为.
故答案为：
14．
【详解】，
，即，
，
时，，两式相减得，
时，，故数列为常数列，
因为，故，
又时也符合上式，故，
，
．
记，
则，
两式相加得，，即，则．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，所以，所以，所以.
（2）法一：
在边上，且，所以.
，
，，
，
所以，
法二：
由余弦定理得，所以，所以.
因为，所以，
所以，在直角三角形中，.
在和中，分别由正弦定理得：
，
因为，，，所以，
又因为均为三角形的内角，所以，
因为，所以.
由，
得，
即，
，，，，
，
.
16．(1)
(2)的分布列见解析；
(3)
【详解】（1）由题意，
得.
（2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为，
故由题意满足二项分布，
故，，
，，
，
故的分布列为
的数学期望为
（3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品”
则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”，
由题意，，，，
则，
，
故，
故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，因点为线段 的中点，故，
因底面为矩形，为的中点，则，
故有，即得，则，
因平面，平面，故有直线平面；
（2）
如图，因平面平面，平面平面，
为等边三角形，且为的中点，则，故平面，
取中点，连接，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系.
设，则，
因为侧棱的中点，则，于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
又，则点到平面的距离为，解得.
因，则，
因，
设平面的法向量为，则，故可取，
设直线 与平面 所成角为，则.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，故抛物线的方程为
（2）设，
所以直线即
同理可得，
设则且
故在直线上，
即直线方程为，
由于直线与圆相切，故，化简可得，
故点的轨迹方程
（3）由题意可知，
设直线的方程为，,
联立方程，化简可得，
则故，
由于直线与双曲线的下支相交于两点，
故，解得，
，
故为定值.
19．(1)的单调递减区间是；单调递增区间是；
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，所以，
因为，所以．
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的单调递减区间是；单调递增区间是；
（2）当时，，即，
设，
则，
令，则．
当时，，所以存在，使得当时，单调递增，
故当时，，即，不符合题意；
当时，，且当时，．
令，
则当时，因为，所以，
故当时，单调递减，此时，
所以当时，单调递减，即当时，，即
综上，a的取值范围是；
（3）由（2），，
又，可知，
因为函数在区间上单调递减，故，
令，，
，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
，，
设
，
故单调递增，，
即单调递减，，即，
所以得证；
综上，．0
1
2
3
4