2024银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（理）含解析

这是一份2024银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（理）含解析，共10页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，已知向量，，则，已知，点满足方程，且有，等内容，欢迎下载使用。

理科数学试题卷
( 银川一中第一次模拟考试 )
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知z1+i=1−1i，则z=
A．2B．22C．2D．1
3．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为
A．B．C．或D．或
4．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计
成绩，得到如下所示的列联表：
附：
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq \f(2,7)，则下列说法正确的是
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
5．已知向量，，则
A．若，则B．若，则
C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则
6．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆
于点，那么的值为
A．B．C．D．
7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是岩画公园
风景优美的公园地图，其形状如一颗
爱心．图是由此抽象出来的一个“心
形”图形，这个图形可看作由两个函数
的图象构成，则“心形”在轴上方的图
象对应的函数解析式可能为
A． B．
C． D．
8．已知，点满足方程，且有，
则的取值范围是
A．B．C．D．
9．若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是
A． B． C． D．或
11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得分，有选
错的得分，部分选对的得分．若选项中有其中个选项符合题目要求，
随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量其中，则
有
A．B．
C．D．
12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终
保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技
人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的
棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长
为2，则下列说法正确的是
A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是
B．勒洛四面体内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．记的内角的对边分别为，若，则角________.
14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、
乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：
“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的
情况.（用数字作答）
15．斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2 =9相切于点M，
且M为线段AB的中点，则k=________.
16．已知函数的图象关于对称，且，
则的值是________.
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．(12分)
已知数列的首项a1=2，且(n≥2)．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，证明：．
18．(12分)
已知菱形边长为，
，以为折痕把
△ABD和△CBD折起，使点
到达点的位置，点到
达点的位置，，不重合.
（1）求证：；
（2）若，求点到平面的距离.
19．(12分)
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在的适合小小班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
表中，，，.
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（i）建立关于的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
20．(12分)
已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，过点的直线交椭圆于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，记△APE面积为的面积为，求的取值范围．
21．(12分)
已知函数，其中．
（1）若有两个零点，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2csθ，y=2sinθ（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=41+3sin2α.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，点M的直角坐标为1,0，求△PMQ的面积．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知均为正实数，函数的最小值为4．
(1)求证：；
(2)求证：．优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
16.30
24.87
0.41
1.64
银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案
1．【答案】C由,解得，
又因为，所以，
又由，可得，解得，
所以，所以，
2．由z1+i=1−1i=1+i，得z=1+i2=2i，则z=−2i，所以z=2.故选：C.
3．A
4．【答案】C【解析】 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到K2＝eq \f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
5.【答案】B
【解析】对于A，若，则有，所以，A错误；
对于B，若，则有，所以，B正确；
对于C，，所以，解得或，C错误；
若与的夹角为钝角，则，即，且与不能共线且反向，
由A选项可知，当时，，此时与共线且反向，
所以若与的夹角为钝角，则且，D错误，故选:B.
6．【答案】A
【详解】由点在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，故，
.故选A.
7.【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.故选：C.
8.【答案】B
【详解】由题意，点且满足，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，
其中，可得，则，
可得双曲线的渐近线方程为，
又因为点满足方程，即，
结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.故选：B.
9.【答案】A
解：“，，”，取，则，
为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
10.【答案】D
设切点．因为，所以，所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，则，即．综上，或．故选：D
11. 【答案】B
12.【答案】C
对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公
式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项
需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到外接球半径
为，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛
四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.
【详解】对于A
故A错误，截面示意图如下：
对于B，由对称性知,勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心,如图：
正外接圆半径,正四面体的
高,令正四面体的外接球半径为,
在中,，解得,
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
图中取正四面体中心为,连接交平面于点，交
于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，故B错误；
对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体
某三个顶点的截面，由对A的分析知，故
C正确；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个
弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体能
够容纳的最大球的半径为，故D错误.故选：C．
13.π3
14.54
由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，
先排乙，有第二、三、四名3种情况，
再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，
其他三名同学排在三位置全排列有种，
由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.
15. 【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则又两式相减得，则.设圆心为C（5，0），则kOM=，因为直线l与圆相切，所以，解得，代入得
16．先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以
，
故选：C.
（1），
，且，
数列是以每一项均为的常数列，则，即；
（2）由（1）得，，
.
18.（1）证明：菱形中，，设，交于点，连接，，
则，，又，平面，平面，
所以平面；又平面，所以；
（2）因为菱形边长为，，所以，则，
又，所以，则，
所以；在中，，，
则，
所以，
所以；
设点到平面的距离为，由题意，
即，
则.
19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以，，，，所以随机变量的分布列为：
所以，，故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由得，，
令，，，则，
由表中数据可得，，
则，所以，，
即，因为，所以，
故所求的回归方程为；
（ii）设年收益为万元，则，设，，
则，当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
所以，当，即时，有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
20.【小问1详解】
因为的焦点坐标为，所以，
所以．因为，所以，化简可得，
又，解得，所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】由（1）可知，可知过点的直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
由，化简可得，
设，则，，
由，解得．
根据弦长公式可得
．
因为的面积为的面积为，
设点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，
所以，
因此，
因为，所以，则，
从而，
所以的取值范围是．
21．【解析】（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，
由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，
所以的最大值为，当时，当时，，
所以可得函数的大致图象，
所以，解得，
所以，有两个零点时，的取值
范围是；
设，
即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，
令为开口向上的二次函数，对称轴为，
由（1）可知，故在时单调递增，
则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，从而不等式得证，
综上，的取值范围是．
22.【答案】解：(1)依题意，曲线C1:x−22+y2=4，即x2+y2−4x=0,故ρ2−4ρcsθ=0，即ρ=4csθ,
因为ρ2=41+3sin2α，故ρ2+3ρ2sin2α=4.即x2+4y2=4，即x24+y2=1.
将θ=θ0代入ρ2=41+3sin2α得，ρQ2=41+3sin2θ0.
将θ=θ0代入ρ=4csθ得，ρP=4csθ0.
由|OQ|=|PQ|，得ρP=2ρQ，即4csθ02=161+3sin2θ0.解得sin2θ0=23，则cs2θ0=13
又0<θ0<π2，故ρQ=41+3sin2θ0=233，ρP=4csθ0=433
故△PMQ的面积S△PMQ=S△OMP−S△OMQ=12⋅|OM|⋅(ρP−ρQ)⋅sinθ0=12⋅233⋅63=23.
23. 【详解】（1），
，
当且仅当时取等号，
，要证，只要证，
由柯西不等式得，
当且仅当时取等号，．
（2）由基本不等式得，
以上三式当且仅当时同时取等号，将以上三式相加得
，即．
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4