2026梅河口五中高三下学期一模考试数学含答案

这是一份2026梅河口五中高三下学期一模考试数学含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
目要求的．
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 ， 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面原点，若 （i 为虚数单位），向量
绕原点逆时针方向旋转 ，且模伸长为原来的 2 倍后与向量 重合，则（ ）
A. 的虚部为 B. 对应的点在第二象限
C. D.
4. 已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则使得 的 的最小值为（ ）
A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052
7. 定义在 上的奇函数 满足： ，当 时， ，则函数
的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知函数 ，将 图象上点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单
位长度，得到函数 的图象.若 ，总存在唯一实数 ，使得 ，则实数
的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分）
9. 设复数 在复平面内对应 点为 为坐标原点， 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 或
C. 若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限
D. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
10. 已知 的展开式的二项式系数的和为 512，且 ，
下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 除以 6 所得的余数为 5
11. 如图，在直四棱柱 中，底面 ABCD 为平行四边形， ， ， ，
M 为 与 的交点.若 为线段 上一动点，则（ ）
A.
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 的取值范围为
D. 以 为球心，以 为半径的球与四边形 的交线长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 _____．
13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 _____．
① ；②当 时， ．
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 作直线分别交两条渐近线于点 ，
交 轴于点 为坐标原点．若 的面积是 的面积的 3 倍，则 _____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）经过点 且斜率为 1 的直线 交 于 ， 两点，求 ．
16. 已知函数 ，且曲线 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值．
17. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从
不同地区随机抽取了 300 名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值，并计算这 300 名市民评分的平均数；
（2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取 4 人进一步了解情况，用 表示抽到的评分在
18. 已知抛物线 的焦点 是椭圆 的一个顶点．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若直线 与 交于 M，N 两点，且点 为线段 MN 的中点，求 的面积．
（3）若直线 过点 ，且与 交于 A，B 两点与 轴交于 点，满足 ，试探究
与 的关系.
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 和 是 上除顶点外的两个动点．
（1）若直线 的斜率成等差数列，证明：直线 过定点；
（2）若直线 的斜率成等比数列，求 面积的最大值．
参考答案：CCCCA CDB 9ACD 10BCD 11ABD 12 .32
13 （答案不唯一， 均满足） 14
15.【小问 1 详解】
设点 的坐标为 ，依题意得 ，
化简得 ，所以 的方程为 ．
【小问 2 详解】
直线 过点 且斜率为 1，
直线 为 ，即 ，
设 ，
联立 ，化简得：
，则 ，
又 ，把 代入，
得 ,
，
．
16【小问 1 详解】
，依题意， ，解之得： ；
【小问 2 详解】
令 ，解之得： ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
记 ，
则 单调递增， 单调递减，
所以 在 处取极大值，
又因为 ，
所以 ，
又 ，
比较可得：函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 1．
17【小问 1 详解】
解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 ，
则 ，解得 .
这 300 名市民评分的平均数为：
.
所以这 300 名市民评分的平均数为： .
【小问 2 详解】
解因为评分在 分以上的市民所占的频率为 ，
由题意可知， ，
所以， ， ，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， .
18
【小问 1 详解】
由题知，椭圆右顶点坐标为 ，抛物线开口向右，
所以 ，故 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
如图，由题意，设 ，
代入抛物线方程 ，可得 ，
两式相减可得 ，即 ，
由 可得 ，故 ，
又由点 为线段 的中点且点 在抛物线 内，
所以直线 的方程为 ，即 .
联立 ，得 ，其中 ，
故 ，
所以 ，
又因为 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
【小问 3 详解】
由（1）得 ，直线 过点 ，且与 交于 A，B 两点与 轴交于 点，
则直线 的斜率存在且不为零，
设直线 的方程为 ， ， ，
则 ，因为 ，所以 ， ，
因为点 在 上，所以 ，即 ，所以 ．
由 ，可得 ， ，
因 点 在 上，所以 ，即 ，所以 ．
由 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，即 ．
19【小问 1 详解】
由题意得 ，所以 ．
若直线 的斜率成等差数列，则 ．
设 ．
当直线 的斜率存在时，设 ，由题意可知 ．
由
得 ，
则 ．（*）
所以
将（*）代入，得 ，化简得 ，当 时，满足 ．
所以 ，可知该直线恒过点 ．
当直线 的斜率不存在时， ，
所以 ，得 ，不符合条件．
综上，直线 过定点 ；
【小问 2 详解】
若直线 的斜率成等比数列，则 ．
记 ，由 可得 ．
用 替换 ，可得 ，因此 关于 轴对称．
因此 的面积为 ．
可以看作关于 的函数，故只需考虑 的情况．
法一：①当 时， ．
考虑 ，
再令 ，则 ，
于是 ，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，解得 ，符合题意．
②当 时， ，此时 ，只需令 ，计算过程与前面相同．
综上， 面积 最大值为 1．
法二：对 求导，得
,
当 ， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取极小值为 ，
当 时， 取极大值为 ，
而当 时， ，而 ，