2026梅河口五中高三下学期二模试题数学含解析

这是一份2026梅河口五中高三下学期二模试题数学含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若抛物线的准线过点，则（ ）
A．1013B．C．D．2026
3．已知等差数列满足，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．已知单位平面向量，满足，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ）
A．4050B．4051C．4052D．4053
7．已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79
D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联”
10．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
11．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．的图象在处的切线方程为
C．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10
D．的图象与直线恰有一个公共点，则实数
三、填空题
12．暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答).
13．已知抛物线：的焦点为 ，直线过 与 相交于， 两点，若点的坐标为，则（为坐标原点）的面积为_______.
14．已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______.
四、解答题
15．已知 的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
16．近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
(1)求空气质量优良的概率的估计值；
(2)根据所给数据，完成下面的列联表：
(3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段AB的长.
18．在平面直角坐标系xOy中，过点Q(-2，0)的直线与抛物线C：y2=4x的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为抛物线C上异于A，B的一点，直线PA，PB与直线l：x=a交于M(a，y3)，N(a，y4)两点.
（1）①；②，其中k1，k2，k3分别是直线OA，AB，OB的斜率；③AF·BF-(AF+BF)，其中F为抛物线C的焦点.请从①②③中任选一个，证明其结果为定值.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）若，求实数a的值.
19．定义：若存在，，使得曲线在点和点处有相同的切线l，则称切线l为曲线的“自公切线”.已知函数．
(1)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
(3)若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数a的取值范围．
空气质量
锻炼人次
优良
7
26
37
轻度污染
6
7
8
中度污染
7
2
0
空气质量
人次≤400
人次
合计
优良
污染
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案及解析
1．C
解析：由，解得，由，解得，
则.
2．D
解析：由题意易得，解得.
3．B
解析：记的公差为，由得.
故，
于是.
4．A
解析：显然，解得，
于是.
5．A
解析：对于充分性，由可得，即，可得，此时，
于是，
所以曲线关于直线对称，充分性成立；
对于必要性，若曲线关于直线对称，则，此时，
若取，则，此时，因，不满足，必要性不成立.
故甲是乙的充分不必要条件.
6．B
解析：设等差数列的公差为，由，得，则，
而，解得，则，，
由和，得，则，
，由，得数列单调递减，当时，，
则当时，，所以使得的的最小值为4051.
故选：B
7．D
解析：如图，过圆心向直线作垂线，垂足为，
当时，则，又圆的半径，可得，
又直线过定点，且点在圆上，
若要使得，则圆心到直线的距离，且即可；
所以，且，解得且，
所以实数的取值范围为.

8．B
解析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，
由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，
得，
即，，
即，，因此，.
故选B.
9．AC
解析：一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，
根据方差公式，可知方差变小，故A正确；
两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱，故B错误;
除m外，剩余数据的极差为，因为所有数据的极差为40，且，
所以
把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，
由，所以这组数据的第m百分位数为第9个，为故C正确;
零假设为与Y相互独立，即X与Y没有关联，由，
可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，故D错误.
故选：AC.
10．BCD
解析：对于A，因为，所以，
所以，又，即，
则，又，所以，
解得，又，故，故A错误；
对于B，因为，外接圆的半径为2，
所以，故B正确；
对于C，因为，即，
又，所以，得，当且仅当时，取等号，
所以，即面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，结合，解得，
由，即，
解得，故D正确.
11．BCD
解析：由函数为上的奇函数，所以，
由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期.
对A，，则，，所以，
由当时，，所以，错误；
对B，由A可知：当时，，所以当时，，
所以当时，，则，
，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确；
对C，作出函数与图象，

函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确；
对D，如图：

当时，；当时，，
当为图中情况，，，令，，
所以切点为，所以；
当为图中情况，，，令，，
所以切点为，所以；
所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。
故选：BCD
12．
解析：分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)，
此时另一场馆有人，共种安排方法；
若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆，
有种，此时安排方法为种；
若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆，
有种，此时安排方法为种；
所以共有种安排方法.
13．/2.5
解析：因为点在抛物线上，所以，解得，所以，则.
所以直线的方程为，即.
与抛物线方程联立，整理得，即.
解得或.
所以.
故的面积为.
14．/
解析：设直线 与曲线的切点为 ，
由求导得，则切线方程为
依题意，其与直线为同一条直线，
故 ,解得;
设直线l： 与曲线 的切点为
由求导得 则切线方程为 ，
依题意，其与直线为同一条直线，
故,
由②解得， 代入①，可得.
所以 .
15．(1)
(2)
解析：（1）由已知得，由余弦定理得，即.
（2）由，所以，
由正弦定理得，故.
由（1）知 ，
所以，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故的面积的最大值为.
16．(1)
(2)列联表见解析
(3)能
解析：（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
（2）列联表为：
（3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
根据表中数据，得
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17．（1）证明见解析；（2）或.
解析：（1）证明：在四棱锥中，平面平面，，
又平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直
角空间坐标系，设，则，
由，，，，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，得，
取，则
设直线与平面所成角为，则有，
即，化简得：，
解得：或，即或.
18．（1）答案见解析；（2）.
解析：解：（1）设过点的直线方程为，与联立消去得，
所以
①.
②.
③.
（2）设，则，所以，
即，
令，则，同理：，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
由点的任意性知，且，所以
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）当时，，，
由题意可知，，即在区间上恒成立，
设函数，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，即.
（2）当时，，，
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则l的斜率，，
即，
同时，
故，即
不妨设，令，，
则，
所以在区间上单调递减，，故不成立，
所以当时，曲线不存在“自公切线”.
（3）因为，所以为偶函数，
又由（2）可得，当时，曲线不存在“自公切线”，
所以当时，曲线也不存在“自公切线”．
假设在点和点处存在“自公切线”l，
则和只可能一正一负，不妨设，，
则l的斜率，
即
同时，
所以，
所以或，即或，
①当时，因为，所以，
所以，令，则，
当时，，在上单调递增，，
所以函数没有零点，此时没有满足题意的，即没有“自公切线”；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
因为，且时，，
当，即时，，没有零点，即没有“自公切线”；
当，即时，，有一个零点，即有一条“自公切线”；
当，即时，，有两个零点，即有两条“自公切线”．
②当时，，又，所以，
因为，所以，
所以，
设函数，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
且，，，
所以当，即时，有一个解，即有一条“自公切线”；
当，即时，有两个解，即有两条“自公切线”；
当或，即或时，无解，即没有“自公切线”．
又因为当时，
在情况①中，，；
在情况②中，，；
所以当时，与同时成立，有且只有一条“自公切线”．
综上所述，若曲线有且只有两条“自公切线”，实数a的取值范围是.空气质量
人次≤400
人次
合计
优良
33
37
70
污染
22
8
30
合计
55
45
100