2024通化梅河口五中高三下学期5月二模试题数学含解析

这是一份2024通化梅河口五中高三下学期5月二模试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（ ）
A. 39B. 40C. 45D. 32
2. 已知方程表示曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 记等差数列的前n项和为，，则（ ）．
A. 13B. 26C. 39D. 78
4. 设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 数列的通项公式为，则（ ）
A. B. C. 5D. 8
7. 校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，．
A. 20B. 30C. 35D. 40
8. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A B. C. 1D. 2
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一个对称中心
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项D. 若是数列中的项，则的值可能为6
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，则在上单调递增
B. 当时，函数有唯一极值点
C. 若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D. 若函数有三个零点，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，则__________，在上的投影向量的坐标为__________．
13. 已知的内角的对边分别为，若，则__________．
14. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．

四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．
（1）证明：BE平面PAD；
（2）若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角正弦值．
17. 小明从4双鞋中，随机一次取出2只，
（1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
（2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，
18. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，.
（1）若，且点在第一象限，点关于轴的对称点为，求直线与双曲线相交所得的弦长；
（2）探究：的外心是否落在双曲线在点处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由.
19. 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
（2）若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
0.100
0.050
0.010
0005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知一组数据为50，40，39，45，32，34，42，37，则这组数据第40百分位数为（ ）
A. 39B. 40C. 45D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算求解即可.
【详解】将这组数据从小到大排列为：32，34，37，39，40，42，45，50，共8个，
因为，所以这组数据第40百分位数为第4个数据，即为39，
故选：A
2. 已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
3. 记等差数列的前n项和为，，则（ ）．
A. 13B. 26C. 39D. 78
【答案】D
【解析】
【分析】由等差中项和性质和等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】因为为等差数列，
所以.
故选：D
4. 设是两个平面，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，，则相交或平行，故A错误；
对于B，若，，，
由线面平行的性质可得，故B正确；
对于C，若，，，
当两两相交时，两两相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B.
5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设事件，再求出甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的概率，然后利用条件概率公式求解.
【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，
则，且，，相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，
则，
设乙没有达优秀等级为事件，则，
所以.
故选：B.
6. 数列的通项公式为，则（ ）
A. B. C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列的通项公式可求数列的任意一项.
【详解】因为
所以.
故选：C
7. 校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
其中，．
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】借助卡方计算即可得.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，
则，
即，又为的倍数，故男生最少有人.
故选：A.
8. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可.
【详解】,
则，
所以，
整理得，
因为，均为锐角，且，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以取得最大值时，的值为.
故选：D.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 是图象的一个对称中心
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由周期公式可得A错误；由余弦函数的对称中心可得B正确；由余弦函数的递增区间可得C正确；由余弦函数的单调性可得D错误.
【详解】A：由最小正周期是，故A错误；
B：因为，对称中心，解得，
当时，对称中心为，故B正确；
C：由余弦函数的递增区间可知，解得，
当时，在区间上单调递增，故C正确；
D：由C可知，在上单调递增，故最小值为，故D错误；
故选：BC.
10. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项D. 若是数列中的项，则的值可能为6
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 当时，则在上单调递增
B. 当时，函数有唯一极值点
C. 若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D. 若函数有三个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知，则__________，在上的投影向量的坐标为__________．
【答案】 ①. ②. .
【解析】
【分析】根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得；根据投影向量的计算公式，结合已知条件，即可求得投影向量的坐标.
【详解】因为，故；
在上的投影向量为，又，则；
故在上的投影向量的坐标为.
故答案为：；.
13. 已知的内角的对边分别为，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值.
【详解】由余弦定理可得，
所以，
于是有.
故答案为：.
14. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可.
【详解】
如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，
此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.
由正六边形的性质和对称性知，，，
在中，由余弦定理可得：
，
得，
由基本不等式可知，则，
故，
因，，解得，
当且仅当时等号成立，
故，
又正六边形的面积，
所以折叠后的面积最大值为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求的值：
（2）求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过余弦定理、正弦定理将条件中的边转化为角即可求出结果；
（2）由余弦定理表示出，借助条件消去边，利用基本不等式求出的范围，进而求出的最大值．
【小问1详解】
由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
【小问2详解】
由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中点．
（1）证明：BE平面PAD；
（2）若，平面PAD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得BE平面PAD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【小问1详解】
取中点，连接．
，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面．
【小问2详解】
取中点中点，连接，可得．
平面平面，平面平面平面，
平面．
．
以为原点，以所在直线为轴､轴､轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
因为是等边三角形，
所以，
所以．
则．
设平面的法向量为，由，
可得，令，可得，
从而是平面的一个法向量．
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 小明从4双鞋中，随机一次取出2只，
（1）求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；
（2）若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）利用组合的知识，结合古典概型的概率公式即可得解；
（2）根据题意确定X的取值：0，1，2；然后分别求出概率，列出分布列，计算期望即可.
【小问1详解】
由题可得：取出2只都不来自同一双概率为：.
【小问2详解】
由题可知X的取值为：0，1，2，
，，，
故X的分布列为：
，
故.
18. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，.
（1）若，且点在第一象限，点关于轴的对称点为，求直线与双曲线相交所得的弦长；
（2）探究：的外心是否落在双曲线在点处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即可；
（2）先利用直线与抛物线的位置关系求切线方程，再利用圆中弦的性质求出外心坐标，即可证明.
【小问1详解】
依题意，，则直线的斜率为,
则直线，即；
联立，得，解得或，
故所求弦长为.
【小问2详解】
的外心落在双曲线在点的切线上，证明过程如下，
设双曲线在点的切线斜率为，则在点处的切线方程为，
联立得，
其中，则，
而，故，代入上式可得，，
解得，故双曲线在点处的切线方程为，即.
直线的斜率为，线段的中点为，
故直线的中垂线方程为，
联立可得，故外心坐标为，
其满足，故的外心落在双曲线在点处的切线上.
19. 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
（1）若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
（2）若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
（3）已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）或
（2）
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据和讨论，利用等比数列前n项和结合数列新定义求解即可；
（2）结合数列定义，利用等差数列的前n项和及通项公式求解即可；
（3）根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.
【小问1详解】
若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去；
若，则，得，
而，解得或，
故或.
小问2详解】
设等差数列的公差为，
因为，则，则，
由，得，
而，故，
两式相减得，即，
又，得，
所以.
【小问3详解】
记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则得，
故，所以.
若存在，使得，即，
则，
且.
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则
因为，所以.
所以；
又，则.
所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，应根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质.
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828
X
0
1
2
P