2025-2026学年枣庄市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年枣庄市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，函数的大致图象为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A．若,,则B．若，,则
C．若,,则D．若,,则
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ）
A．B．C．lD．1
8．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
10．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
12．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3]B．[﹣1，3]C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的值域为_________．
14．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.
15．已知数列的前项和为，且满足，则______
16．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．
18．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
19．（12分）表示，中的最大值，如，己知函数，.
（1）设，求函数在上的零点个数；
（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
20．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，点是棱的中点，，.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
21．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
22．（10分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.
【详解】
连接，
则，，
所以，
在中，，，
故
在中，由余弦定理
可得.
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率
故选：D
本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2．A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
3．B
【解析】
图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
，故奇函数，四个图像均符合。
当时，，，排除C、D
当时，，，排除A。
故选B。
图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
4．C
【解析】
在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．
【详解】
设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：
在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，则或，故B错误；
在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
在D中，若，，则与平行或，故D错误．
故选C．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
5．A
【解析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.
【详解】
，排除掉C，D；
，
，，
.
故选：A．
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
6．C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
7．A
【解析】
设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值.
【详解】
解：设点，则点，，
，
，
当时，取最小值，最小值为.
故选：A.
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.
8．B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
9．D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
10．C
【解析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案.
【详解】
是奇函数，
，
易知均为减函数，故且在上单调递减，
不等式，即，
结合函数的单调性可得，即，
设，，故单调递减，故，
当，即时取最大值，所以.
故选：.
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.
11．A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
12．C
【解析】
先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，
B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
故选：C．
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．
【详解】
由题意，可得，
令，，即，
则，
当时，，当时，，
即在为增函数，在为减函数，
又，，，
故函数的值域为：．
本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．
14．
【解析】
根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.
【详解】
圆心为，
所求直线与直线垂直，
设为，圆心代入，可得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：.
本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.
15．
【解析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.
【详解】
解：，可得时，，
时，，又，
两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．
本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.
16．
【解析】
根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.
【详解】
，，，
由得，，
由基本不等式可得，，
，，
，因此，的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）
【解析】
（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；
（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积．
【详解】
（1）证明：连接与交于，连接，
因为是菱形，所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：取中点，连接，
因为四边形是菱形，，且，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以．
同理可证：，又，
所以平面，
所以平面平面，
又平面平面，
所以点到直线的距离即为点到平面的距离，
过作直线的垂线段，在所有垂线段中长度最大为，
因为为的中点，故点到平面的最大距离为1，
此时，为的中点，即，
所以，
所以．
本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键．
18．（1）（2）
【解析】
利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，
对恒成立，则，
由三角不等式，得求解
【详解】
解：当时，不等式即为，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为
若对任意、都有，
即为，
由，当取得等号，
则，由，可得，
则的取值范围是
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
19．（1）个；（1）存在，.
【解析】
试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（1）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．
试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分
令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分
设，结合与在上图象可知，这两个函数的图象在上有两个交点，即在上零点的个数为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（或由方程在上有两根可得）
（1）假设存在实数，使得对恒成立，
则，对恒成立，
即，对恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
①设，
令，得递增；令，得递减，
∴，
当即时，，∴，∵，∴4．
故当时，对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
当即时，在上递减，∴．
∵，∴，
故当时，对恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
②若对恒成立，则，∴．．．．．．．．．．．11分
由①及②得，．
故存在实数，使得对恒成立，
且的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
20．（1）见解析（2）
【解析】
(1)由已知可证得平面,则有,在中,由已知可得,即可证得平面,进而证得结论.
(2) 过作交于,由为的中点,结合已知有平面.
则,可求得.建立坐标系分别求得面的法向量,平面的一个法向量为,利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）证明：平面，平面，
,又四边形为正方形，
.
又、平面，且，
平面..
中，，为的中点，
.
又、平面，，
平面.
平面，平面平面.
（2）解：过作交于，如图
为的中点，，.
又平面，平面.
，.
所以,又、、两两互相垂直，以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.，，，
设平面的法向量，则
，即.
令，则，..
平面的一个法向量为
.
二面角的余弦值为.
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
21．（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析
【解析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得
X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.
【详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）
所以后三组频数依次为24，21，18，
所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为人
（2），
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，
X可取0，1，2，
，
X的分布列
X的数学期望.
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.
22．
【解析】
将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.
【详解】
解:将圆化成普通方程为,整理得．
将直线化成普通方程为．
因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
解得．
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
X
0
1
2
P