2025-2026学年枣庄市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年枣庄市高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析），共13页。试卷主要包含了复数在复平面内对应的点为则，若集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A．2B．C．D．1
2．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
3．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．1D．
4．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ）
A．64B．32C．2D．4
6．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．复数在复平面内对应的点为则（ ）
A．B．C．D．
8．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A．B．
C．D．
9．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．半正多面体(semiregular slid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知命题若，则，则下列说法正确的是（ ）
A．命题是真命题
B．命题的逆命题是真命题
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的逆否命题是“若，则”
12．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足，则目标函数的最大值为______.
14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.
15．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
16．若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，求的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
18．（12分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知函数，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若，当时，函数，求函数的最小值．
21．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
22．（10分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
，选B.
2．A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
3．D
【解析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得，即的值，由此求得和的值，进而求得所求表达式的值.
【详解】
由于直角边为直径的半圆的面积之比为，所以，即，所以，所以.
故选：D
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.
4．B
【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】
由题意易得平面,
所以,
当且仅当时等号成立,
又阳马体积的最大值为,
所以,
所以堑堵的外接球的半径,
所以外接球的体积,
故选:B
本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
5．A
【解析】
根据题意依次计算得到答案.
【详解】
根据题意知：，，故，，.
故选：.
本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.
6．D
【解析】
根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据
，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.
【详解】
依题意知，与为函数的“线性对称点”，
所以，
故（当且仅当时取等号）.
又与为函数的“线性对称点，
所以，
所以，
从而的最大值为.
故选:D.
本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.
7．B
【解析】
求得复数，结合复数除法运算，求得的值.
【详解】
易知，则.
故选：B
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.
8．B
【解析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=．故选B．
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
9．A
【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合，解得，
则
故选：．
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．
10．D
【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.
【详解】
如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体的体积为，
故选：D.
本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.
11．B
【解析】
解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
解不等式，解得，则命题为假命题，A选项错误；
命题的逆命题是“若，则”，该命题为真命题，B选项正确；
命题的否命题是“若，则”，C选项错误；
命题的逆否命题是“若，则”，D选项错误．
故选：B．
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.
12．D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-1
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，
由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
由得即，则有最大值，
故答案为．
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．
【解析】
建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值.
【详解】
以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，
所以，所以，
，
则，
则
，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以当时，最短，此时.
故答案为：
本题考查导数的实际应用，属于中档题.
15．1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
16．
【解析】
根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

将化为，则最大时，直线在轴截距最大；
由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，
由得：，.
故答案为：.
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，.（3）
【解析】
（1）根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.
（3）分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意可知,.
当时,,
当时,也满足上式.
所以.
（2）解法一：由（1）可知,
即.
当时,,①
当时,,所以,②
当时,,③
当时,,所以,④
……
当时,n为偶数
当时,n为偶数所以
以上个式子相加,得
.
又,所以当n为偶数时,.
同理,当n为奇数时,
,
所以,当n为奇数时,.
解法二：
猜测：当n为奇数时,
.
猜测：当n为偶数时,
.
以下用数学归纳法证明：
,命题成立；
假设当时,命题成立；
当n为奇数时,,
当时,n为偶数,由得
故,时,命题也成立.
综上可知, 当n为奇数时
同理,当n为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知.
①当n为偶数时,,
所以随n的增大而减小从而当n为偶数时,的最大值是.
②当n为奇数时,,
所以随n的增大而增大,且.
综上,的最大值是1.
因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,
故实数的取值范围是.
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
（Ⅱ）取的中点，连接、，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的余弦值.
【详解】
（Ⅰ）是正方形，，
平面，平面，
、平面，且，平面 ，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）取的中点，连接、，
是正方形，易知、、两两垂直，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，，，，
、、、，
设平面的一个法向量，，，
由，得，令，则，，.
设平面的一个法向量，，，
由，得，取，得，，得.
，
二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．（1）见解析 （2）的最小值为
【解析】
（1）由题可得函数的定义域为，
，
当时，，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得；令，可得或，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增．
（2）方法一：当时，，，
设，，则，
所以函数在上单调递减，所以，当且仅当时取等号．当时，设，则，所以，
设，，则，
所以函数在上单调递减，且，，
所以存在，使得，所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当时，函数取得最小值，且，
故函数的最小值为．
方法二：当时，，，
则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
所以函数的最小值为．
21．（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.
【详解】
（1）在中，由正弦定理可得：，
，
底面，
平面，
；
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，
设平面的法向量为，由可得：，令，则，
设平面的法向量为，由可得:，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
，故二面角的正弦值为.
本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴
∵平面底面，平面底面，
∴底面平面，∴
又由题意可知为正方形，
又，∴平面
平面，∴平面平面
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，
设平面的法向量为，则
令，则，
∴
由（1）知平面的法向量可取为
∴
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.