山东省枣庄市滕州市2025-2026学年高三（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份山东省枣庄市滕州市2025-2026学年高三（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题.，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．，B．C．，D．，
2．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
4．将自然数1，2，3，4，5，，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
5．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A．B．4C．D．2
6．已知，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．，C．D．，
8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
（多选）10．（6分）已知函数，则（ ）
A．有对称中心B．有对称轴
C．的极小值为D．，
（多选）11．（6分）已知△不是直角三角形，若，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．
三、填空题
12．不等式的解集为 ．
13．若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为 ．
14．已知，分别是方程与的根，则的值为 ．
四、解答题
15．（13分）已知函数的图像关于中心对称，且图像上相邻两个对称轴的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，，且，若，求的值．
16．（15分）已知正项数列满足．
（1）若是等比数列，求的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
17．（15分）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式，并写出的单调性（无需证明）；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18．（17分）柯西不等式是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁路易柯西提出的，其一般形式为：
，，，，，，，，且，有
，
当且仅当时，等号成立．
柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题．
例如：
已知，由柯西不等式，可得．
当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值．
运用柯西不等式，解决下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）求的最大值．
19．（17分）已知函数，．
（1）若，恒成立，求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数的两个零点分别为与，且，求证：；
（3）已知正整数满足，试求出所有满足条件的．（已知
参考答案
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．，B．C．，D．，
解：因为，，
所以，．
故选：．
2．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：“” 或，
“” “”， ，．反之不成立，例如取，，虽然，但是不成立．
“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
3．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：与时间（单位：之间的关系为，则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
解：由位移是关于时间的函数，满足，
对函数求导可得，
则该弹簧振子在时的瞬时速度是．
故选：．
4．将自然数1，2，3，4，5，，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22B．30C．37D．46
解：根据题意，设第个“拐角数”为，
则，，，，，
归纳可得：，
由此分析选项：都符合，
对于，无整数解，不符合题意．
故选：．
5．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ）
A．B．4C．D．2
解：因为函数的周期为2，且为奇函数，
所以，
因为，
所以．
故选：．
6．已知，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：，，，
可得，，则，
，，．
则．
故选：．
7．已知函数在单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．，C．D．，
解：由题意可得，，令，得．
当时，，所以的单调增区间为，，
若在单调递增，所以，，
所以，即，．
故选：．
8．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
解：令，得，，，，
在同一坐标系内作出函数，，的图象，
则，，分别是函数，，，的图象与直线交点的纵坐标，
观察图象得，当时，；当时，，当时，，
因此都可能，不可能．
故选：．
二、多选题
（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
解：选项：当时，显然错误；
选项，，
，，
，即，故正确；
选项：已知，，
令，，，则，即，故错误；
选项，
又，
，，
，即，故正确．
故选：．
（多选）10．（6分）已知函数，则（ ）
A．有对称中心B．有对称轴
C．的极小值为D．，
解：由题意函数，
可得，
，不是定值，故无对称中心，错误；
又当时，，所以关于直线对称，即有对称轴，正确；
又，由分析，只分析其在，上的单调性，
当，时，，又，
则，当且仅当取等号，则在，上单调递增，
由对称性可得在上单调递减，则（1），正确；
因为，由分析可知，，
时，，，
结合在上单调递减，则，，故正确．
故选：．
（多选）11．（6分）已知△不是直角三角形，若，则（ ）
A．
B．的最大值为
C．
D．
解：对于，因为，
由正弦定理，余弦定理可得：，
整理得：，
再由正弦定理可得：，故错误；
对于，因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
又因为，所以，所以的最大值为，故正确；
对于，由可知，
即，可得，
即，
即，
又因为
，
即，
同理可得，
所以，
即，
所以，故正确；
对于，因为，
又因为，
所以，
，
所以，故正确．
故选：．
三、填空题
12．不等式的解集为． ．
解：由，开口朝上，又△，
则不等式恒成立，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
13．若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为 7 ．
解：一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，
，解得，
，解得，
又，
．
故答案为：7．
14．已知，分别是方程与的根，则的值为 8 ．
解：分别作出，，的图象，如图所示，
方程的根是与的图象交点的横坐标，
方程的根是与的图象交点的横坐标，
函数与互为反函数，图象关于对称，而直线与直线垂直，
点与关于对称，且点和点的中点在直线上，
联立，解得，
．
故答案为：8．
四、解答题
15．（13分）已知函数的图像关于中心对称，且图像上相邻两个对称轴的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）设，，且，若，求的值．
解：（1）图像上相邻两个对称轴的距离为，
，即，即，得，
则，
的图像关于中心对称，
，，得，，
，当时，，
则．
（2）当，，，
设，则函数，则上的对称轴为，
由，得，
即关于对称，
，，
即，
则．
16．（15分）已知正项数列满足．
（1）若是等比数列，求的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
解：（1）因为数列是等比数列，设公比为，，
所以，
所以，，则，
所以；
（2）因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为4的等比数列，
则．
17．（15分）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式，并写出的单调性（无需证明）；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，可得，
则，
经验证，，是奇函数，
故，
函数在上为减函数；
（2）由恒成立，
得恒成立，
可得恒成立，
令，因为，所以，，
因为，，，
故当，即，即时，取得最小值，
所以，解得，
即的取值范围是．
18．（17分）柯西不等式是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁路易柯西提出的，其一般形式为：
，，，，，，，，且，有
，
当且仅当时，等号成立．
柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题．
例如：
已知，由柯西不等式，可得．
当且仅当时，等号成立．又，解得，．即当，时，取得最小值．
运用柯西不等式，解决下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）求的最大值．
解：（1）由柯西不等式可得：，，，，，，且，有
，
当且仅当时，等号成立．
可得，又，
，即得．
当且仅当时，等号成立．又，解得，．
即当，时，取得最小值3．
（2）由柯西不等式可得．
即，
得，化简得．
当且时，即时等号成立，
当时，的最大值为9．
19．（17分）已知函数，．
（1）若，恒成立，求实数的取值集合；
（2）在（1）的条件下，若函数的两个零点分别为与，且，求证：；
（3）已知正整数满足，试求出所有满足条件的．（已知
解：（1）函数，，，恒成立，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，由，得，即，
因此，解得，
所以实数的取值集合是；
（2）证明：由（1）知，，，函数的定义域为，
求导得，
由，解得，
要证，
即证，
即证，
，
令函数，，
求导得，函数在上单调递减，
，函数在上单调递减，
（4），
而，
因此（4），
所以．
（3）由（2）得函数在上单调递减，当时，，
由，得，则，
令函数，，
求导得，函数在上递减，
，函数在上单调递增，，
因此，即，
从而，
又正整数满足不等式，
则，所以．