2025-2026学年张家口市高三压轴卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2025-2026学年张家口市高三压轴卷数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了一个四棱锥的三视图如图所示，以下关于的命题，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知复数满足：，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：
小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；
小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）
A．小王或小李B．小王C．小董D．小李
7．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．
A．B．C．D．
8．以下关于的命题，正确的是
A．函数在区间上单调递增
B．直线需是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象
9．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
10．若，则“”的一个充分不必要条件是
A．B．
C．且D．或
11．设，集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．
14．的二项展开式中，含项的系数为__________．
15．棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为______.
16．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有_________种. (用数字作答)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，函数.
（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.
18．（12分）已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。
（Ⅰ）求证：AE平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
19．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，）
20．（12分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
21．（12分）是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
22．（10分）已知函数．
（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；
（2）为的导函数，当，时，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
2．B
【解析】
转化，为，利用复数的除法化简，即得解
【详解】
复数满足：
所以

故选：B
本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
3．B
【解析】
列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：，退出循环，输出的为.
故选：B.
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.
4．C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C
本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．D
【解析】
求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
【详解】
复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.
故选：D.
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.
6．D
【解析】
根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.
【详解】
解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，
而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；
若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，
否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，
所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；
若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，
则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，
所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.
所以“入班即静”的书写者是：小李.
故选：D.
本题考查推理证明的实际应用.
7．A
【解析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.
【详解】
根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，
平面，且，
∴，，，，
∴这个四棱锥中最长棱的长度是．
故选．
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．
8．D
【解析】
利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.
【详解】
A选项，函数先增后减，错误
B选项，不是函数对称轴，错误
C选项，，不是对称中心，错误
D选项，图象向左平移需个单位得到，正确
故答案选D
本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.
9．D
【解析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】
解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
10．C
【解析】
，
∴，当且仅当 时取等号.
故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C．
11．B
【解析】
先化简集合A,再求.
【详解】
由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.
12．B
【解析】
取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.
【详解】
取的中点，连接、，
由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得.
设球心为，和的中心分别为、.
由球的性质可知：平面，平面，
又，由勾股定理得.
所以外接球半径为.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．750
【解析】因为，得，
所以。
14．
【解析】
写出二项展开式的通项，然后取的指数为求得的值，则项的系数可求得.
【详解】
，
由，可得.
含项的系数为.
故答案为：
本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.
15．
【解析】
由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径．
【详解】
由题意可知：
多面体的外接球即正四面体的外接球
作面交于，连接，如图
则，且为外接球的直径，可得
，
设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，
设外接球的半径为，则可得，
即，解得，
设正三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
而，
所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，
所以，
设内切球的半径为，，
即解得：．
故答案为：.
本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.
16．1．
【解析】
试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1．
考点：排列、组合及简单计数问题．
点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；
（2）不妨设，，，
利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；
【详解】
解：（1）∵
∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，
∴在上恒成立.设，
∵函数在上单调递增，∴，
∴，∴实数的取值范围为.
（2）不妨设，，，
则，
∴.
∵，∴，
又，令，∴，
∴在上为减函数，∴，
∴，即，
∴在上是减函数，∴，即，
∴，
∴当时，.
∵，∴.
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5
【解析】
（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，AE⊥BD于E，能证明AE⊥平面BCD;
（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;
（Ⅲ）利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积，再作比写出答案即可．
【详解】
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，
设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），
F（，0，0），C（，2，0），
，，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，
设平面ADC的一个法向量，
则，取x=1，得，
∴，
∴二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为．
（Ⅲ）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.
本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题，属于中等题.
19． (1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。
（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。
【详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
数学期望.
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；
（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.
【详解】
解法一：（1）依题意知，因为，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
又平面，
所以.
由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.
因为，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）在中，，，所以.
由（1）知，平面，且，
所以三棱锥的体积.
在中，，，得，
由（1）知，平面，所以，
所以，
设点到平面的距离，
则三棱锥的体积，得.
解法二：（1）同解法一；
（2）因为，平面，平面，
所以平面.
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作的垂线，垂足，即.
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即为点到平面的距离.
由（1）知，，
在中，，，得.
又，所以.
所以点到平面的距离为.
本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.
【详解】
（1）对任意的，由得，
两式相减得，
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.
所以，数列的最小项为.
本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．（1）极大值，极小值；（2）详见解析.
【解析】
首先确定函数的定义域和；
（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；
（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.
【详解】
由题意得：定义域为，，
（1）当时，，
当和时，；当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为.
（2）要证：，
即证：，
即证：，
化简可得：．
，，即证：，
设，令，则，
在上单调递增，，则由，
从而有：.
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.
0
1
2
3
4