第八章　进阶篇　进阶4　定点问题-2027年高考数学大一轮复习课件（课件+解析版试卷）

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在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.
解析几何中定点问题的解题策略(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为①设直线方程为y=kx+m(或x=ny+t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；③将②的结果代入y=kx+m(或x=ny+t)，得到定点坐标.(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)
跟踪训练1　已知点F(0，1)，P是平面上一动点，以|PF|为直径的圆与x轴相切，设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；
解　所以b2=(2k-1)2，所以b=2k-1或b=-2k+1，当b=-2k+1时，直线AB的方程为y=kx-2k+1，过定点M(2，1)，舍去；当b=2k-1时，直线AB的方程为y=kx+2k-1=k(x+2)-1，过定点(-2，-1)，所以直线l过定点(-2，-1).
圆过定点问题的解题策略(1)利用特殊情况寻找特殊点.(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
跟踪训练2　已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
跟踪训练2　已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
(1)解　将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，故抛物线C的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.
则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).
即t2=t2-4，显然不成立，即(m-2)y1-(m+2)y2≠0，故m=4，满足Δ>0，直线RQ：x=ty+4，所以直线RQ过定点(4，0).
1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
解　将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，故抛物线C的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.
1.已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y=-1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
证明　则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).