2026届蚌埠市重点中学高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届蚌埠市重点中学高考仿真卷数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了复数满足，则复数等于，已知符号函数sgnxf，若x∈等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．12B．C．D．10
2．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
3．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．复数满足，则复数等于（）
A．B．C．2D．-2
6．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn xB．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
7．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞aB．c＞b＞aC．a＞b＞cD．b＞a＞c
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
9．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
11．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
12．抛物线的准线方程是，则实数（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.
14．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．
15．若非零向量，满足，，，则______.
16．已知是第二象限角，且，，则____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
18．（12分）设的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
19．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，
．
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：
①对任意，；
②．
证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；
（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．
20．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
21．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.
22．（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：

根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；
根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.
（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，
方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？
附：相关性检验的临界值表：
（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，
故选：C.
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
2、B
【解析】
先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.
【详解】
若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.
对函数求导得，由得，
由图象可知，满足不等式的的取值范围是，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.
3、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
4、B
【解析】
根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.
【详解】
当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，
当时，，令
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为在上有3个零点，
所以当时，有2个零点，
如图所示：
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
5、B
【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】
复数满足，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．
6、A
【解析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
7、A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【详解】
∵x∈（0，1），
∴a＝lnx＜0，
b＝（）lnx＞（）0＝1，
0＜c＝elnx＜e0＝1，
∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8、C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；
对于，由，知：，又，，正确；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
9、A
【解析】
函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．
【详解】
由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，
即，所以或．
因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．
故选：A．
【点睛】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．
10、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
11、B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
12、C
【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3000
【解析】
根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.
【详解】
解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，
则，
该市身高高于的高中男生人数大约为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.
14、
【解析】
可看出，这样根据即可得出，从而得出满足条件的实数的个数为1．
【详解】
解：，
或，
在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，
由图可知与无交点， 无解，则满足条件的实数的个数为．
故答案为：．
【点睛】
考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题．
15、1
【解析】
根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案.
【详解】
，即
解得或（舍）
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.
16、
【解析】
由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值.
【详解】
解：由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，
可得，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明
（2）利用（1），得到当时，，
得出，得出，
然后可得
【详解】
证明：（1）据题意，得，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
解：（2）由（1）求解知，.
∴当时，.
又，
∴，
∴，
∴
.
【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题
18、（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.
（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】
（1）由题设知，，
即，
所以，
即，又
所以.
（2）由题设知，，
即，
又为锐角三角形，所以，即
所以，即，
所以的取值范围是.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．
（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．
（ii）由．可得．又，即可得出为定值．
（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．
【详解】
（Ⅰ）解：当，时，，，，，．
．
（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，
又，，，，，，
必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．
因此有．
（ii）．
．
，
为定值．
（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，
．
．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20、（1）.（2）
【解析】
（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.
【详解】
（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则
a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，
整理，得12d2+7d﹣10＝0，
解得d（舍去），或d，
∴an＝1（n﹣1），n∈N*.
（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，
∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，
∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，
两式相减，可得：
﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n
＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2（2n+1）•3n
＝﹣2n•3n，
∴Tn＝n•3n.
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.
21、（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）
【解析】
(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；
解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.
【详解】
(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，
可得曲线的直角坐标方程为，即，
则曲线的极坐标方程为，即，
又因为曲线的极坐标方程为，即，
根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.
(2)解法1：设直线的倾斜角为，
则直线的参数方程为（为参数，），
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，
解得，，，
，
，即，，，
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
解法2：设直线的极坐标方程为），
代入曲线的极坐标方程，得，，
把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，
，即，，
曲线的参，即，
，，，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22、（1）选取方案二更合适；（2）
【解析】
(1) 可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系，从而可得结论；(2)求得购买电子书的概率为,只购买纸质书的概率为,购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.
【详解】
（1）选取方案二更合适，理由如下：
①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.
②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所以有的把握认为与具有线性相关关系.
(2) 因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为，只购买纸质书的概率为， 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为：.
【点睛】
本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能力与运算求解能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.