2025-2026学年安庆市高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份2025-2026学年安庆市高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），共7页。试卷主要包含了设函数，则函数的图像可能为，设则以线段为直径的圆的方程是，已知点P在椭圆τ等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．72种
2．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A．B．C．D．
3．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：
①在抛物线上满足条件的点仅有一个；
②若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；
③无论过点的直线在什么位置，总有；
④若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.
其中所有正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，设为内一点，且，则与的面积之比为
A．B．
C．D．
6．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
7．设函数，则函数的图像可能为（ ）
A．B．C．D．
8．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
9．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
11．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．324B．522C．535D．578
12．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )
A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年
C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中项系数为160，则的值为______.
14．已知数列满足,且,则______.
15．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是__________．
16．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得，求证：
18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.
19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．
（1）若，求证：⊥；
（2）若二面角的大小为，求线段的长．
20．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：
（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．
21．（12分）已知函数的最大值为2.
（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；
（Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积．
22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.
（1）求△ABC的面积；
（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.
【详解】
不同分配方法总数为种.
故选：C
此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.
2．B
【解析】
由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】
由题可知.
所以
令，
得
令，得
故选：B
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
3．A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
①：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；②：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；③：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；④：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点在同一条直线上.
【详解】
解：对于①，设，由抛物线的方程得，则， 故，
所以或，所以满足条件的点有二个，故①不正确；
对于②，不妨设，则关于准线的对称点为，
故，
当且仅当三点共线时等号成立，故②正确；
对于③，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，
设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为，
，整理得，则，所以
，
则
.故的倾斜角互补，所以，故③正确.
对于④，由题意知 ，由③知，
则 ，由，
知，即三点在同一条直线上，故④正确.
故选:C.
本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.
5．A
【解析】
作交于点，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出与的比例，再由与的比例，可得到结果.
【详解】
如图，作交于点，
则，由题意，，，且，
所以
又，所以，，即，
所以本题答案为A.
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.
6．A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：
.
对于A：可得.
故选:A.
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
7．B
【解析】
根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.
【详解】
定义域为：
，函数为偶函数，排除
，排除
故选
本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.
8．A
【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
故选：A
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．A
【解析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
10．C
【解析】
设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.
【详解】
设，则，，，则，设，
则，两式相减得到：，
，，即，，
，故，即，故，故.
故选：.
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．D
【解析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.
【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D.
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.
12．D
【解析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，
则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，
将图3近似画出如下平面几何图形：
则，，
．
，
估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：．
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-2
【解析】
表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案.
【详解】
该二项式的展开式的第r+1项为
令，所以，则
故答案为：
本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题.
14．
【解析】
数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.
【详解】
，
数列是以3为公比的等比数列，
又，
，
．
故答案为：．
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
15．
【解析】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，
即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，