内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024−2025学年高一下学期第二次学业诊断（3月）数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024−2025学年高一下学期第二次学业诊断（3月）数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．化简：（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
5．设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ）
A．2B．C．D．
6．已知则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．锐角三角形的三个内角的对边分别是，若，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，则（ ）
A．B．与向量平行的单位向量为
C．在上的投影向量是D．
10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
11．在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的外接圆的半径为2
C．D．面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设 ， ， 在一条直线上， 在该直线外，已知 ，则 等于 .
13．在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于 .
14．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
(3)若与的夹角是钝角，求的取值范围.
16．在中，，，，分别为边、上的点，且，.
(1)用向量方法求证：；
(2)求.
17．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
18．已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
19．已知函数为偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围;
(3)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
，
.
故选C.
2．【答案】C
【详解】.
故选C
3．【答案】B
【详解】若，且，则，解得或，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
4．【答案】C
【详解】是边的中点，，
，
是边上靠近点的三等分点,，
，
又，.
故选C.
5．【答案】C
【详解】，，
，
又，且，，三点共线，，
即，
，.
故选C.
6．【答案】A
【详解】，
故选A.
7．【答案】C
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选C.
8．【答案】D
【详解】由正弦定理得：，所以.
又锐角三角形中，，则，即.
所以，由于锐角三角形，所以，
解得.
故选D.
9．【答案】AC
【分析】根据两向量加减法坐标运算得，，利用计算向量的模和向量平行判断A,D，结合单位向量和投影向量的坐标表示计算判断B,C.
【详解】对于A：因为，，所以，，
故，故A正确；
对于B：与向量平行的单位向量为或，故B错误；
对于C：因为在上的投影向量是，故C正确；
对于D：因为，，而，故D错误.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.
故选AD.
11．【答案】AD
【详解】在中，因为，所以由正弦定理得，
又，
所以，所以，
对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确；
对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误；
对于C,如图1，，故C错误；
对于D,由余弦定理得：，
当且仅当时取等号，因此，故D正确，
故选AD.

12．【答案】/
【详解】由 ， ， 三点共线，且，得 ，
所以.
13．【答案】
【详解】因为，，所以.
所以的面积等于.
14．【答案】26
【详解】中，，,.所以.
在中，运用正弦定理，可得，代入值求得，
由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米.
15．【答案】(1)或3：
(2)1或
(3)
【详解】（1）若，则.
整理得，解得或.
故的值为或3.
（2）若，则有，即，解得或
当时，，则，得；
当时，，则，得.
综上，的值为1或.
（3）因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则
综上，的取值范围为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以,
又因为，所以，
因为,，所以，
所以，
即，得证.
（2）由题意,
，
由勾股定理可得，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）由题可知，的最小正周期，则，
则，，即，．
因为，所以．
又，所以，得．
故．
（2）令，
得，
则的单调递减区间为．
（3）由，得．
由，得．
因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以，
解得，即的取值范围为．
19．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）是偶函数，
即对任意恒成立，
，
（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．
令，则函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当即时，等号成立.
的取值范围是
（3）
，，
令，，则，，
的最小值为0，
或或
或或