期末复习专题15 动角问题（7知识点+4大题型+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考 习题+答案

这是一份期末复习专题15 动角问题（7知识点+4大题型+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考 习题+答案，共18页。
题型导览
知识剖析
动角问题是七年级几何的难点题型，本质是利用角的和差、角平分线性质，结合运动变化分析角的数量关系，需掌握以下基础知识点：
【知识点1 角的基本表示与度量】
角的表示：用三个大写字母（如∠AOB）、一个大写字母（如∠O，顶点唯一时）或数字 / 希腊字母（如∠1、∠α）表示。
度量单位：度（∘）、分（′）、秒（″），换算关系：1∘=60′，1′=60′′。
【知识点2. 角的和差关系】
若射线OC在∠AOB内部，则∠AOB=∠AOC+∠COB；
若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则射线OB在∠AOC内部。
【知识点3. 角平分线的定义】
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。
【知识点4 动角的核心表示方法】
设动角的旋转速度为v（单位：度 / 秒），旋转时间为t（单位：秒）：
顺时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 −vt（角度减小，结果需非负，若为负则加360∘）；
逆时针旋转：旋转后的角度 = 初始角度 +vt（角度增大，若超过360∘，可减360∘取余）。
【知识点5 常见特殊角关系】
互余：两个角的和为90∘；互补：两个角的和为180∘；
平角：一条射线绕端点旋转半周形成的角，度数为180∘；
周角：旋转一周形成的角，度数为360∘。
【知识点6 核心解题技巧】
动角问题的解题关键是 **“定静为动，以静制动”**，即把运动的角转化为用t表示的代数式，再结合条件列方程求解，具体技巧可总结为 “四步走”：
步骤 1：标初始，定方向
明确题目中所有角的初始度数（如∠AOB=60∘）；
确定动射线的旋转方向（顺时针 / 逆时针）和旋转速度（如3∘/秒）。
步骤 2：写表达式，表动角
根据旋转方向和速度，写出t秒后所有相关角的度数表达式（核心步骤，避免出错）；
若涉及角平分线，结合角平分线性质，写出平分后角的表达式。
步骤 3：列方程，建关系
根据题目中的条件（如 “角相等”“互余”“互补”“倍数关系”），建立关于t的方程；
若涉及绝对值（如 “角的度数为非负数”“两种位置情况”），需分情况讨论。
步骤 4：验结果，下结论
求解方程后，检验结果是否符合实际（时间t≥0，角度度数在合理范围，如0∘到360∘之间）；
舍去不合理解，整理有效解并作答。
关键提醒
分情况讨论：当动射线旋转到不同位置时，角的和差关系可能改变，需根据旋转范围分类；
单位统一：确保旋转速度和时间的单位一致（如速度为 “度 / 秒”，时间为 “秒”）；
数形结合：画图辅助分析，在图中标出初始角和旋转后的角，直观判断数量关系。
【知识点7 解题技巧口诀】
定初始，标方向；写表达式，明度量；
角平分线，分一半；列方程，找关系；
分情况，不遗漏；验结果，合实际；
动角问题不难解，四步走通全掌握！
题型1 单射线旋转 — 求角度或时间
解题关键：根据旋转方向和速度，写出动角的表达式，结合特殊角关系列方程。
典例精讲

例题 1．如图，O为直线上一点，过点O作射线，，射线从射线出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，到射线停止，要使射线成为的角平分线，射线从射线出发需要旋转 秒．
变式训练
变式1-1．如图，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将射线以每秒的速度绕点O逆时针方向旋转至，当与第一次重合时停止．在旋转的过程中，若恰好有，则旋转的时间为 秒．
变式1-2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”．
变式1-3．如图，已知是过点且在内部的一条射线，分别平分．当绕点在的内部旋转时，请你探究的度数是否发生变化，并说明理由．
典例精讲

题型2 双射线旋转 — 相遇与角度相等
解题关键：分别写出两条动射线旋转后的角度表达式，利用 “角度相等” 或 “角的和差为定值” 列方程。
例题 2．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，则称射线是的“逐光线”，[注：本题研究的角都是小于平角的角]．
(1)如图1，，射线是的“逐光线”，则的度数为________________．
(2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为，问：当射线、旋转到一条直线上时，求的值．
(3)在（2）的条件下，请直接写出当射线是的“逐光线”时的值．
变式训练
变式2-1．已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；
(2)如图2所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出和的数量关系；
②若，当，求t的值．
变式2-2．如图，射线在的内部，如果，则称为射线与的“分割值”，记为．例如当，时，则，即，反之，则．
(1)如图，射线在的内部，，，则________；
(2)如图，，，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒．
当时，求的值；
若，求的值．
变式2-3．如图①，运动会的广播操让我们充分体会到了一种整体的图形之美．小田和小栩想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图②．为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．
(1)如图②，A，O，B三点共线，且，则_______；
(2)第三节腿部运动中，如图③，小田发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，经过计算她发现，代数式的值为定值，请判断小田的发现是否正确？如果正确，请求出代数式的值；如果不正确，请说明理由；
(3)第四节体测运动中，小栩发现，两腿左右等距张开（处于竖直方向），开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，右手、左手绕点O顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图④．
①运动停止时，_______；
②请帮助小栩求解：当时，运动时间是多少？
题型3 含角平分线的动角问题
解题关键：结合角平分线性质，写出平分后角的表达式，再根据条件列方程。
典例精讲

例题 3．综合与探究
问题情境：
在数学活动课上，老师给出一个定义，如图1，在内部画出一条射线，得到三个角，分别是，，．若其中两个角之差等于，则称射线是的“和谐线”．（本题中提到的角都是大于且小于的角）
独立思考：
（1）若，，请你判断射线是不是的和谐线，并说明理由．
初步探究：
（2）如图2，当平分时，试通过计算探究射线是不是的和谐线．
问题解决：
（3）若，射线是的和谐线，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
变式训练
变式3-1．是内部的一条射线，且．
(1)如图1，若平分平分，求的度数；
(2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由；
(3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．
①和分别在和内部时，求和的数量关系；
②若，在旋转过程中，直接写出当时，的值．
变式3-2．【材料阅读】
如图1，数轴上的点A、B表示的数分别为、6，是线段的中点．
（1）点表示的数是______．
（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是______、______．（用含t的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为3，求t的值．
【方法迁移】
（4）如图2，，平分，现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．经过秒后，射线、的夹角为，直接写出的值．
变式3-3．如图1，O为直线上一点，过点O在直线的上方作射线，，将一个含（）的直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的上方．
(1)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向转动一周的过程中，如图2，经过t秒后，恰好平分．求t的值；
(2)在（1）问的条件下，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿逆时针方向转动一周的过程中，如图3，请通过计算说明经过多长时间直线平分．
题型4 含互余 / 互补的动角问题
解题关键：利用 “互余和为 90°，互补和为 180°” 的关系，列方程求解。
典例精讲

例题 4．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．

(1)如图2，若，则________，________（填“>”“”“