河南省驻马店市上蔡县上学期九年级期中教学质量检测数学试卷 （解析版）

这是一份河南省驻马店市上蔡县上学期九年级期中教学质量检测数学试卷 （解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义解题即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2. 一元二次方程x2＋x－1＝0根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】把a=1，b=1，c=-1代入△=，然后计算△，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为x2＋x－1＝0
∴ a=1，b=1，c=-1，
∴ △==，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确掌握根的判别式是解题的关键．
3. 如图，，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴A选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意，
故选：D．
4. 如图，在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义．
根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ）
A. 7B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选：A．
6. 下面是蔡国情同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A. 若，则B. ，则其解为
C. 方程的解为D. 若有一根为2，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解；分别根据直接开平方法，因式分解的方法解方程，结合方程的解的含义逐一分析即可．
【详解】解：A、若，则，所以A选项错误；
B、若，则，解得或，所以B选项错误；
C、方程，则，
则方程的解为，，所以C选项错误；
D、若有一根为2，则，则，所以D选项正确．
故选D．
7. 如图，直线，若，则的长为（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线，
∴，
即，
∴，
故选：B．
8. 下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意；
C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两个长方形形状不一定相同，不一定是相似图形，符合题意；
故选：D．
9. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．根据特殊锐角三角函数值代入计算验证即可．
【详解】解：A．，而，因此选项A符合题意；
B．，因此选项B不符合题意；
C．，因此选项C不符合题意；
D．，因此选项D不符合题意．
故选：A．
10. 下列命题正确的是（）
A. 已知：线段，则a，b，c，d是比例线段
B. 若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是
C. 已知关于x的方程是一元二次方程
D. 位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，无理数的整数部分与小数部分，一元二次方程的定义，位似图形与相似图形的关系等知识点，解题的关键是准确掌握各知识点的定义和性质．
分别根据比例线段的定义判断选项A；根据无理数的整数部分与小数部分的求解方法判断选项B；根据一元二次方程的定义判断选项C；根据位似图形与相似图形的关系判断选项D．
【详解】根据比例线段的定义，如果四条线段a，b，c，d满足，那么这四条线段叫做成比例线段．
已知，因为，即，所以，b，c，不是比例线段，A错误；
因为，所以，则的整数部分，小数部分．
将代入可得：，B错误；
对于方程，其中，因为，所以，进而，即，满足一元二次方程的定义，所以该方程是一元二次方程，C正确．
位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形特殊情况，它要求对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一条直线上，D错误．
故答案选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断．
【详解】解：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
12. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．先把式子变成，再代值计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，
故答案是：．
14. 如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. 如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边 AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为___________．
【答案】或3
【解析】
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：①，连接BD，根据折叠的性质可得，所以，，设，则，根据勾股定理即可求得答案；②，根据正方形的判定可得四边形CDEF是正方形，所以，，可得，依据相似三角形的性质可得，设，则，，，列出方程解方方程求解，即可得到CD的长．
【详解】解：分两种情况：
若时，则，，
连接AD，由折叠可得：，
由勾股定理可得：，
∴，，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
∴；
②若，则，，
∴四边形CDEF是正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：x=，
综上所述，CD的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，正方形判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题关键．
三、解答题
16. （1）计算：．
（2）计算：．
（3）解方程：（用配方法）；
（4）解方程：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程的方法的综合，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解；
（2）运用乘法公式进行二次根式的混合运算即可求解；
（3）先移项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法求解；
（4）运用提公因式法解一元二次方程即可求解；
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
，
解得：；
（4），
移项得，，
提取公因式得，，
或，
∴．
17. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k；
（2）k=3
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
【小问2详解】
∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度．
（1）画出向上平移个单位得到的；
（2）以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的相似比为．
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）2.5
【解析】
【分析】（1）分别作出点、、向上平移个单位得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据位似变换的定义作出点、的对应点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如上图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：．
【点睛】本题主要考查作图平移变换、位似变换，解题的关键是根据平移变换和位似变换的定义作出变换后的对应点．
19. 位于河南省上蔡县蔡沟乡初级中学院内的银杏树，相传为孔子周游列国时亲手所栽．这棵银杏树唐时遭火灾，生发新树，明时复遭雷击，树外又包生新树，现在枝叶紫茂，状若华盖，令人叹为观止，吸引着方圆百里的游客前来参观瞻仰！某数学课题学习小组欲测量“银杏树”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量．小冯同学先在大树彩子端点F处竖立了一根长为1米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小华同学在的延长线上找到点D，使得点B、C、D在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同平面内，且，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组完成以下问题：
（1）求出线段与线段之间的数量关系．
（2）求出银杏树的高度（结果精确到1米）．
【答案】（1）
（2）约为米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
（1）证明即可求解；
（2）证明即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
，
∴，即，
解得，
答：银杏树的高度约为米．
20. 2023年9月6日至8日，第25届中国农产品加工业投资贸易洽谈会在河南省驻马店市举行．本届大会为促进农业科技创新和成果转化，加快农产品加工业高质量发展发挥了积极作用．上蔡精心布展，将最富有上察特色的、质量品质过硬的商品推介给来自五湖四海的客商和参观展会的游客．
（1）其中邵店黄姜受到大家的广泛好评，邵店黄姜展区9月6日销售192件，9月7日、8日该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月8日的销售量达到300件．求9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率；
（2）塔桥猪蹄是上蔡特色美食之一，该美食色泽鲜亮、床道鲜香、口感软糯，制作工艺被认定为市级非物质文化遗产．每件塔桥猪蹄成本价为90元，当销售价为130元时，每天可售出20件猪蹄，在农加会期间，商家为扩大销售量，最大程度让利于顾客，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件猪蹄降价1元，那么平均可多售出2件，每件塔桥猪蹄降价多少元时，平均每天盈利1200元？
【答案】（1）9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为
（2）当每件塔桥猪蹄降价20元时，商场可以获利1200元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为，利用8日的销售量9月6日的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每件塔桥猪蹄降价元，则每件的销售利润为元，每天销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：9月7日、8日这两天销售量的日平均增长率为；
【小问2详解】
解：设每件塔桥猪蹄降价元，则每件的销售利润为元，每天销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
∵在农加会期间，商家为扩大销售量，最大程度让利于顾客，
∴，
答：当每件塔桥猪蹄降价20元时，商场可以获利1200元．
21. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EAD上点，且BE＝BD．
（1）求证：；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠，根据等腰三角形的性质得到∠，由等角的补角相等得到∠，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结果．
【小问1详解】
证明：∵
∴∠
∴
即∠
又平分
∴∠，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）可得
又，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22. 已知三条边的长度分别是，记的周长为．
（1）当时，的最长边的长度是__________（请直接写出答案）；
（2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）若x为整数，求的最大值．
【答案】（1）3 （2）
（3）7
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
（1）把代入三角形的三边中，化简后计算比较即可；
（2）利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围，再把三角形的三边求和；
（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，求出三角形的周长．
【小问1详解】
解：当，，
∵，
∴的最长边的长度是3；
故答案为：3；
【小问2详解】
解：由二次根式有意义的条件得，
解得：，
所以，．
所以
＝
＝；
【小问3详解】
解：由（2）可得，且．
∴x越大越大，
∴当时，三边为，1，4，
∵，
∴不合题意舍去．
当时，三边为2，2，3，符合三角形三条边的关系，
∴．
即的最大值为7．
23. [教材呈现]
（1）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
求证：．
[结论应用]
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：．
（3）若（2）中的，则的大小为多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键．
（1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证；
（2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明；
（3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
∴分别为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：P是的中点，M是中点，
是的中位线，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，