2022-2023学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省郑州市惠济区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列平面图形中，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 将分式x2yx−y中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值(    )
A. 扩大1000倍 B. 扩大100倍 C. 扩大10倍 D. 不变
3. 若a A. −5a<−5b B. a2>b2
C. a− 2>b− 2 D. a+4 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )
A. (x+3)(x−3)=x2−9 B. x3−1=x(x2−1x)
C. x2−3x−4=x(x−3)−4 D. x2−4x+4=(x−2)2
5. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是(    )

问题：某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，先要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，在图中确定休息点M的位置．


A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB交BC于点E，交AB于点D，若BE=13，CE=5，则AC的长是(    )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 1
7. 分式方程6x−1=x+5x(x−1)有增根，则增根为(    )
A. 0 B. 1 C. 1或0 D. −5
8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a−b，x−1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将3a(x2−1)−3b(x2−1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是(    )
A. 你爱数学 B. 你爱学 C. 爱中国 D. 中国爱你
9. 如图，把△ABC绕着点C逆时针旋转100°，得到△DEC，若点A恰好在DE的延长线上，则∠BAD的度数是(    )
A. 90°
B. 80°
C. 70°
D. 75°
10. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=12，AD=5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为(    )


A. 2 B. 2.3 C. 4 D. 7
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若分式x+3x2−9有意义，则x应满足的条件是______ ．
12. 如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和为______．
13. 如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(−4,−2)，则根据图象可得，关于x的不等式ax+b≥kx的解集是________．

14. 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=80°，则∠A+∠B+∠D+∠E=____．

15. 在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为______．
三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题12.0分)
(1)解不等式组5x−6≤2(x+3)3x+13>1−x−13；
(2)先化简x2x−1÷(x2+2x+1x2−1−1x−1)，然后从−1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
17. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−4,1)，B(−1,2)，C(−2,3)．
(1)平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为(1,2)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)已知△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，请在图中画出△A2B2C2．

18. (本小题9.0分)
阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2−b2c2=a4−b4(A)
∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2) (B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC是直角三角形
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；
(2)错误的原因为：______；
(3)本题正确的结论为：______．
19. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=8cm，BC=10cm，AB=6cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动.若设运动时间为t s．
(1)直接写出：AQ= ______ cm，DQ= ______ cm；(用含t的式子表示)
(2)当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？

20. (本小题11.0分)
“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
21. (本小题12.0分)
学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图，直线y=2x与直线y=kx+b交于点A(1,m)，求不等式kx+b>2x的解集.同学们都感觉这道题很容易，通过观察图象快速写出了这道题的答案是：______ ，接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：2x2+1>1的解集.小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究，探究的思路是借助函数图象解决问题．
(1)首先画出函数y=2x2+1的图象．
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a= ______ ；
②描点：根据表中的数值描点(x,y)，请补充描出点(0,a)；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；
x
…
−2
−32
−1
−12
0
12
1
32
2
…
y
…
25
813
1
85
a
85
1
813
25
…
(2)观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，可得不等式2x2+1≥1的解集是______ ．
22. (本小题12.0分)
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
(1)观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出△PMN面积的最大值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义判断即可．
本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

2.【答案】B 
【解析】解：1000x2y10x−10y=100x2yx−y，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

3.【答案】D 
【解析】解：A.因为a 所以−5a>−5b，故本选项不合题意；
B.因为a 所以a2 C.因为a 所以a− 2 D.因为a 所以a+4 故选：D．
根据不等式的性质逐一进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．

4.【答案】D 
【解析】解：A.(x+3)(x−3)=x2−9，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意．
B.x3−1=x(x2−1x)，等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
C.x2−3x−4=x(x−3)−4，等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
D.x2−4x+4=(x−2)2，符合因式分解的定义，故本项符合题意．
故选：D．
根据因式分解的概念，将多项式相加写成多个单项式相乘的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵M点到AC和BC两边的距离相等，
∴点M为∠ACB的平分线与AB的交点，
∴丙同学的作图正确．
故选：C．
根据角平分线的性质可判断点M为∠ACB的平分线与AB的交点，然后根据基本作图进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．

6.【答案】C 
【解析】解：∵DE垂直平分AB，BE=13，
∴AE=BE=13，
在Rt△ACE中，∠C=90°，
∴AC= AE2−CE2= 132−52=12，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质求出AE，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查了分式方程的增根，属于基础题．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的增根．
【解答】
解：6x−1=x+5x(x−1)，
去分母得：6x=x+5，
解得：x=1，
经检验x=1是增根．
故选B．
  
8.【答案】D 
【解析】解：3a(x2−1)−3b(x2−1)
=3(x2−1)(a−b)
=3(x+1)(x−1)(a−b)．
∵3对应“中”，x+1对应“国”，x−1对应“爱”，a−b对应“你”，
∴最后呈现的密码信息为：中国爱你．
故选：D．
首先将多项式3a(x2−1)−3b(x2−1)进行因式分解，然后再找出每一个因式所对应的密码信息即可得出答案．
此题主要考查了因式分解，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式法、乘法公式法进行因式分解．

9.【答案】B 
【解析】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转100°，得到△DEC，
∴CA=CD，∠ACD=100°，∠BAC=∠D，
∴∠D=∠CAD=40°，
∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=40°+40°=80°，
故选：B．
根据旋转的性质得CA=CD，∠ACD=100°，∠BAC=∠D，再根据三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：连接DN，
∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB= AD2+BD2= 52+122=13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A=90°，AD=5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为4；
故选：C．
根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．

11.【答案】x≠±3 
【解析】解：∵分式x+3x2−9有意义，
∴x2−9≠0，
∴x≠±3．
故答案为：x≠±3．
根据分式的分母不能为0即可解答．
本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．

12.【答案】1080° 
【解析】解：∵正多边形的每一个外角都是45°，
∴这个正多边形的边数为360°÷45°=8．
∴这个多边形的内角和等于180°×(8−2)=1080°．
故答案为：1080°．
根据任意多边形的外角和等于360°，得正多边形的边数为360°÷45°=8，从而求得多边形的内角和．
本题主要考查多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角和外角、正多边形的性质、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键．

13.【答案】x≤−4 
【解析】解：∵由函数图象可知，当x<−4时一次函数y=ax+b在一次函数y=kx图象的上方，
∴关于x的不等式ax+b≥kx的解是x≤−4．
故答案为：x≤−4．
直接根据函数图象得出结论即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．

14.【答案】260° 
【解析】解：如图，五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，
∵∠BCD=80°，
∴∠1=360°−80°=280°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E=540°−280°=260°．
故答案为：260°．
根据周角的定义求出∠1的度数，用五边形的内角和减去∠1的度数即可得出答案．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．

15.【答案】3或5 
【解析】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF−EF=2AB−EF=8，
∴AB=5；
②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC//AD，CD=AB，CD//AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为3或5．
故答案为：3或5．
根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．

16.【答案】解：(1)5x−6≤2(x+3)①3x+13>1−x−13②，
由①得，x≤4，
由②得，x>34，
故不等式组的解集为：34 (2)原式=x2x−1÷[(x+1)2(x+1)(x−1)−1x−1]
=x2x−1÷(x+1x−1−1x−1)
=x2x−1÷xx−1
=x2x−1⋅x−1x
=x，
∵x+1≠0，x−1≠0，x≠0，
∴x≠−1，1，0，
∴x=2时，原式=2． 
【解析】(1)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
(2)根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组及分式的化简求值，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及分式混合运算的法则是解题的关键．

17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
 
【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，熟练掌握旋转的性质，平移的性质是解题的关键．

18.【答案】(1)C；
(2)没有考虑a=b的情况；
(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形  ． 
【解析】
解：(1)由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【分析】
(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；
(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
(3)根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．  
19.【答案】t  (8−t) 
【解析】解：(1)∵AD=8cm，AQ=t cm，
∴DQ=AD−AQ=(8−t)cm，
故答案为：t，(8−t)．
(2)∵AD//BC，点Q、点P分别在AD、BC上，
∴DQ//PC，
当DQ=PC时，四边形PQDC是平行四边形，
当点Q与点D重合时，则t=8；
当点P与点C重合时，则2t=10，
解得t=5，
当0 解得t=2；
当5 解得t=6，
综上所述，当t=2或t=6时，四边形PQDC为平行四边形．
(1)由AD=8cm，AQ=t cm，得DQ=AD−AQ=(8−t)cm，于是得到问题的答案；
(2)由DQ//PC可知，当DQ=PC时，四边形PQDC是平行四边形，再分两种情况讨论，一是点P从点B向点C运动，则8−t=10−2t；二是点P从点C向点B运动，则8−t=2t−10，解方程求出相应的t值即可．
此题重点考查平行四边形的判定、列代数式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段DQ和线段PC的长度是解题的关键．

20.【答案】解：(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，
依题意，得：800x+3=500x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3=8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，
依题意，得：600−m≥3m600−m≤460，
解得：140≤m≤150，
设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，
则w=8×0.8(600−m)+5×0.7m=−2.9m+3840，
∵−2.9<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=150时，w取得最小值，最小值=−2.9×150+3840=3405(元)，
则600−150=450，
答：当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少． 
【解析】(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，由题意：用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买毽子m个，则购买跳绳(600−m)个，由题意：跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，列出一元一次不等式组，解之得m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，再由总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

21.【答案】x<1  2  −1≤x≤1 
【解析】解：观察图1可得，不等式kx+b>2x的解集是x<1，
故答案为：x<1；
(1)①列表：把x=0代入y=2x2+1得y=2，
∴a=2，
故答案为：2；
②描点：如图；
③连线：如图：

(2)观察图象可得不等式2x2+1≥1的解集是−1≤x≤1．
故答案为：−1≤x≤1．
观察图象可得kx+b>2x的解集；
(1)①把把x=0代入可得a的值；②在所给直角坐标系中描点即可；③将所描点连起来，画出函数图象即可；
(2)观察函数图象，即可得到答案．
本题考查一次函数与不等式的关系，理解一次函数与二元一次方程组、不等式的关系是正确解答的关键．

22.【答案】PM=PN  PM⊥PN 
【解析】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN//BD，PN=12BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM//CE，PM=12CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN//BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM//CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形．
理由：如图2，连接CE，BD，
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM//CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同(1)的方法得，PN//BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；

(3)若DE=2，BC=4，
在Rt△ABC中，AB=AC，BC=4，
∴AB= 22BC=2 2，
同理：AD= 2，
由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴当点D在BA的延长线上，BD最大，即PM最大
∴BD=AB+AD=2 2+ 2=3 2，
∴PM=32 2，
∴S△PMN最大=12PM2=12×(32 2)2=94．
(1)利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同(1)的方法即可得出结论；
(3)先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．