2025-2026学年下学期山东省德州高三数学5月模拟演练试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东省德州高三数学5月模拟演练试卷含答案，共7页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 在复平面内,复数 z 对应的点的坐标为 3,−2 ,则 z−iz=
A. 5-5i B. 5+5i C. 1−5i D. 1+5i
2. 设集合 A={xx∣>2},B=x 10 ,点 Nx1,y1,z1 在四面体 SABC 外接球的球面上,且 CN⊥ 平面 ABC ,点 Hx2,y2,z2 在四面体 SABC 内切球的球面上,则
A. mnt=83
B. HN 的最大值是最小值的 2 倍
C. 四面体 SABC 外接球的体积为 108π
D. 当 HN 取得最小值时,点 H 的坐标为 6,523,43
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 4+c2−a2=−2c,b=2 ,则 A= _____▲_____.
13. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C:x24+y2=1 的左、右焦点,位于第三象限的点 P 在 C 上, PF1⊥ PF2 . 将 C 沿其短轴翻折,使得 C 的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直,则翻折后 P 与 F2 之间的距离为_____▲_____.
14. 某挑战赛设置了 nn≥2,n∈N∗ 个连续关卡,分别记为第 1 关卡,第 2 关卡,……,第 n 关卡,每个参赛团队的选手人数均为 2n ,每 2 名选手组成一个双人挑战组,共 n 个双人挑战组, 每个关卡均由其中 1 个双人挑战组进行挑战, 各关卡参赛选手均不相同, 关卡挑战从第 1 关卡开始依次挑战,每个关卡至少有 1 名选手挑战成功 (即该关卡挑战成功),才能进入下一个关卡的挑战. 若某参赛团队这 n 个连续关卡均挑战成功,则该参赛团队的挑战赛通关. 已知参赛团队 M 的每名选手挑战成功的概率均为 35 ，且各选手的挑战结果相互独立，若在 M 挑战赛通关的情况下，记 M 内挑战不成功的选手总人数为 Xn ，则 EX14= _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006 年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录. 为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了 200 名当地居民进行调查，得到如下列联表:
单位:人
(1)在年龄在 40 岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为 p ，求 p 的估计值；
(2)根据小概率值 α=0.01 的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
16. (15分)

将正方体 ABCD−A1B1C1D1 截去三棱锥 C1−B1CD1 后得到如图所示的几何体，且 H 为 AC 的中点.
(1)证明: A1H// 平面 B1CD1 .
(2)求二面角 A−B1H−A1 的正弦值.
17. (15分)
已知等差数列 an 满足 a1=2,a3+a10=15 ,且 b1+b2+b3+⋯+bn=2an−2 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 bn 的通项公式；
(3)求数列 2n+1bn 的前 n 项和 Sn .
18.(17分)
已知函数 fx=xlnx−1−tx+2t ，其中 t>0 .
(1)证明:当 t=1 时， fx 仅有一个零点.
(2)设 fx 的三个零点为 a,b,ca0 .
(1)当 p=87 时,求 Ω 的准线方程.
(2)A为Ω上一动点，过点 A 作， Ω 的准线 l 的垂线，垂足为 H ，设过 A ， F ， H 三点可作双曲线 C ,且 C 的两个焦点均在 x 轴上.
( i ) 若 C 过点 O ,求 C 的方程;
(ii) 求 C 的离心率的取值范围.
高三模拟演练 数学参考答案
1.C 由题意知 z=3−2i ,则 z−iz=3−2i−i3−2i=1−5i .
2.B 因为 A=−∞,−2∪2,+∞,B=−1,6 ,所以 A∪B=−∞,−2∪−1,+∞ .
3.D 若这 3 个数的中位数为 4 ,则 4 被选且需从1,2,3中选 1 个数,从 5,6 中选 1 个数,故这 3 个数的中位数为 4 的概率为 3×2C63=310 .
4. A 因为点 C1,−1 到直线 3x−4y+18=0 的距离 d=3+4+185=5 ,所以该圆的半径的取值范围是 0,5 .
5.B 因为 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点,所以 AD=23AB+13AC,BC=AC−AB , AD⋅BC=23AB+13AC⋅AC−AB=13AC⋅AB−23AB​2+13AC​2=13×3×2×12 −23×32+13×22=−113.
6. C 依题意得 sinπ7csπ7=12sinπ7csα+12csπ7sinα ,
则 sin2π7=sinπ7+α ,则 π7+α=2π7+2kπk∈Z ,或 π7+α+2π7=π+2kπk∈Z ,则 α=π7 +2kπk∈Z ,或 α=4π7+2kπk∈Z ,则 α 的值可以为 4π7 .
7. C 由图可知, f0=ne0=n=2,f1=1+m+2e=0 ,解得 m=−3 ,所以 fx=x2− 3x+2)⋅ex ,则 f′x=2x−3+x2−3x+2⋅ex=x2−x−1⋅ex ,则 x1,x2 是方程 x2 −x−1=0 的两个不同实数根,则 x1+x2=1 .
8. D 当 x=e4 时， A=k⋅1.52=2.25k=22.5 ，即 k=10 . 当 A=135 时， 10×1.5lnx2=135 ，即 13. 5=1.5lnx2 ,则 ln13.5=lnx2ln1.5 ,即 lnx=2ln13.5ln1.5 .
因为 ln13.5=ln272=ln27−ln2=3ln3−ln2≈3×1.1−0.7=2.6,ln1.5=ln3−ln2≈0.4 ,所以 lnx≈2× . 令 x=10n ,则 lnx=nln10≈2.3n ,所以 n≈132.3≈5.7 ,则 x≈105.7 .
9. BCD 因为展开式中所有项的二项式系数之和为 22025 ,所以 n=2025, A 错误.
令 x=1 ,得 a0=12025=1, B 正确.
令 x=2 ,得 a0+a1+a2+a3+⋯+an=62025 ,所以 a1+a2+a3+⋯+an=62025−1,C 正确. 令 x=65 ,得 a0+a15+a252+a353+⋯+a202552025=22025 ,所以 a15+a252+a353+⋯+an5n=22025−1 ,因为 22025 为偶数,所以 22025−1 为奇数, D 正确.
10. BC 关于 x 的方程 fx2=4fx4 即为 fx2{4fx2−1}=0 ,得 fx=0 或 fx=±12 . 由 x∈0,π ,得 ωx−π6∈−π6,ωπ−π6 ,因为关于 x 的方程 fx2= 4fx4 在 0,π 上恰有 14 个不同的实数根,所以根据正弦函数的图象得 25π60 ,所以 ℎx 在 1,+∞ 上单调递增, 3 分由 ℎ2=ln1+1−1=0 , 4 分得 2 为 ℎx 的唯一零点,即 fx 仅有一个零点. 5 分
(2)(i) fx 的定义域为 1,+∞ . 令 fx=0 ，得 xlnx−1−t+2tx=0 ，
设 gx=lnx−1−t+2tx ,易得 gx 有 3 个零点. 6 分
g′x=1x−1−2tx2=x2−2tx+2tx2x−1 ,因为 gx 有三个零点,所以 gx 至少有两个极值点,
所以 g′x=0 在 x∈1,+∞ 上至少有两个不相等的实数根,即关于 x 的方程 x2−2tx+
2t=0 在 x∈1,+∞ 上至少有两个不相等的实数根, 8 分则 t>1,12−2t+2t>0,解得t>2.Δ=4t2−8t>0, 11 分
(ii) 由 (i) 得当 10,gx 单调递增;
当 t−t2−2tp2 ，所以 ℎ=2x0−p4 ， 13 分
由①得, a2=p2−ℎ2=p2−2x0−p42=3p−2x0216 ,
由 ③ 得， y02b2=x0−ℎ2a2−1 ，而 x0−ℎ=2x0+p4 ，则 y02b2=2x0+p23p−2x02−1=8p2x0−p3p−2x02 ，代
λy02=2px0 ,得 b2=x03p−2x0242x0−p , 15 分
e2=1+b2a2=1+16x042x0−p=6x0−p2x0−p=3+2p2x0−p, 16 分
由 x0>p2 且 x0≠3p2 ,得 e2>3 且 e2≠4 .
故 C 的离心率的取值范围为 3,2∪2,+∞ . 17 分
注:第(2)问还可以这样解答:
设点 A 的坐标为 x0,y0 ,则 H−p2,y0 , 3 分
因为 C 的两个焦点均在 x 轴上,所以 C 关于 x 轴对称,又点 A 与 H 均在 C 上,所以由对称性可知 C 的中心在线段 AH 的中垂线上,则 C 的中心 O′ 的坐标为 2x0−p4,0 . 4 分
(i) 若 C 过原点,则 O 与 F 为 C 的两个顶点,此时 C 的中心为线段 OF 的中点,即 p4,0 , 则 2x0−p4=p4 ,解得 x0=p ,此时 C 的实半轴长为 p4 . 6 分
依题意知 Ω 的方程为 y2=2px ,则 y02=2px0=2p2 , 7 分
设 C 的方程为 x−p42p42−y2m2=1 ,将点 Ap,y0 的坐标代入,得 p−p42p42−2p2m2=1 ,解得 m2=p24 8 分
所以 C 的方程为 x−p42p216−y2p24=1 ,即 4x2−y2−2px=0 . 9 分
(ii) 设 C 的方程为 x−xO′2a2−y2b2=1 ,其中 b2=a2e2−1 ,
将点 A 的坐标代入得 x0−2x0−p42a2−2px0a2e2−1=1 , 10 分
其中 a2=xF−xO′2=2x0−3p42 , 11 分
x0−2x0−p42=2x0+p42 ,则 2x0+p23p−2x02−1=32px03p−2x02e2−1 , 12 分
因为 2x0+p2−3p−2x023p−2x02=8p2x0−p3p−2x02 ,所以 8p2x0−p3p−2x02=32px03p−2x02e2−1 .
13 分
消去非零项,得 e2−1=4x02x0−p ,所以 e2=1+4x02x0−p=6x0−p2x0−p=3+2p2x0−p . 14 分当 x0≤p2 时,过 A,F,H 三点不能作双曲线, 15 分
当 x0=3p2 时,线段 AH 的中点的横坐标与 F 的横坐标相等,则过 A,F,H 三点也不能作双曲线,则 x0>p2 且 x0≠3p2 , 16 分
所以 2x0−p>0 且 2x0−p≠2p ,则 e2>3 且 e2≠4 ,则 e 的取值范围是 3,2∪2,+∞ . 17 分秦腔
年龄
合计
40 岁以下
40 岁及以上
喜爱
45
45
90
不喜爱
75
35
110
合计
120
80
200
Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828