2025-2026学年下学期山东省泰山教育联盟高三数学4月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东省泰山教育联盟高三数学4月联考试卷含答案，共7页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答，4 D， 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码。
2. 本试卷满分 150 分, 分为选择题和非选择题两部分。
3. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4. 非选择题的作答: 用 0.5 mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 a=m,1 ， b=4,m ，则 “ m=2n 是 “ a//b ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 集合 A={y∣y=−x2+8,x∈N,y∈N} 的真子集的个数为
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3. 若函数 fx=ex−f′1x ,则
A. f1=−e2 B. f′1=−e2 C. f2=e2−e D. f′2=e2−e
4. 已知变量 x 和 y 有较强的线性相关关系,根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 y=2.2x+a ,则
A. 经验回归直线必过点 3.5,7.5 B. a=0.8
C. x=2 对应的样本点的残差为 -0.4 D. 当 x=7 时,预测值 y=15.6
5. 将 5 个互不相同的球全部放入 3 个彼此不同的盒子中，每个盒子至少 1 个球，则不同的放球方法共有
A. 36 种 B. 72 种 C. 108 种 D. 150 种
6. 已知函数 fx=−3x−2x,x≥a−x−5,xb>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C ,若 F1C⊥F1A,4AF2=F2C ,则 C 的离心率为
A. 510 B. 1010 c. 55 D. 105
8. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M,N 分别是正方形 CDD1C1 和 BCC1B1 的中心，过 M 的平面 α 与直线 ND 垂直，则平面 α 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得的截面周长为
A. 35+2 B. 522+25 C. 4+42 D. 22+25
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每个小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z=a+bi,a,b∈R ,且 b≠0 ,则
A. z−z 是纯虚数 B. z2=z2
C. 若 z−2i=1 ，则 z=±1+2i D. 若 z=1 ，则 z+1z 是实数

10. 若函数 fx=Atanωx+φA>0,ω>0,−πgx ；
(3)记 an=15n−1 ， bn=fn ，设 cn=λan+1−λbn ，是否存在正整数 n ，对任意 λ∈0,1 ,以 an,bn,cn 的值为边长能构成三角形,若存在,求 n 的值,若不存在,请说明理由.
泰山教育联盟 2026 届高三考试模拟 数学试题答案 2026.04
一、选择题
ACCD DBDA
二、选择题
9. AD 10. ABD 11. ACD
三、填空题
12.40 13.2 14.50
四、解答题
15.(1)由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC ，则 AC=655 . 3 分因为 cs∠ADC=45 ，所以 sin∠ADC=35 .
由正弦定理可得 ADsin∠ACD=ACsin∠ADC ，则 sin∠ACD=ADsin∠ADCAC=55 . 6 分
(2)在 △ACD 中，由正弦定理可得，
则 sin∠CAD=255,cs∠CAD=55 ， 8 分
在 △ABC 中. AB=6155 . 10 分
则 S△ABD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD=12⋅2⋅6155sin∠CAD+π2=6155⋅cs∠CAD=635
所以 S∠ABD=635 . 13 分
16.
(1)在圆台 O1O2 中，由 BA,FB 为该圆台的母线，得 BA,FB 延长线交于一点， 2 分
而平而 ADE// 平而 BCF ，平面 ABFB ，平面 ADB=AB ，平面 ABFB∩ 平面 BCF=BF ，
所以 AE//BF . 5 分
(2)设 O1O2=h ，因为 V正化=13π1+4+2h=7π3 ，所以 h=1 ， 7 分
连接 O1E,O2F ，由直线 O1O2 为圆台 O1O2 的轴，得 FE,O2O1 延长线交于一点，
由(1)同理得 O1E//O2F . 由 O1B=O1A=1,AB=2 ,得 O1E2+O1A2=2=AE2 .
则 O1R _____内 AD/BC ，因此 O2R/BC ，直线 O2F,O2C,O2O1 两两垂直，
以 O2 为原点，直线 O2F,O2C,O2O1 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 8 分
则 B0,−2,0,F2,0,0,C0,2,0,E1,0,1 ,

FE=−1,0,1,BF=2,2,0,CF−2,−2,0 ,
设平而 BEF 的法向量为 m=a,b,c ,
则 m⋅BF=2a+2b=0m⋅FE=a+c=0 . 取 c=1 ,得 m=1,−1,1 , 10 分
设平面 CEF 的法向量为 n=x,y,z ,
n⋅CF=2x−2y=0n⋅FB=−x+z=0 ,取 z=1 ,得 n−1,1,1 , 12 分
所以 cs⟨m,n⟩=m⋅nm∥n∥=13⋅3=13 .
所以平面 BEF 与平面 ⊙EF 所成角的余弦值为 13 . 15 分
17.
(1)由题意，当直线 AT 垂直于 x 轴时，点 A 的坐标为 2，
因为 AF=3 ，所以点 A 到准线 x=−p2 的距离为 3，即 2+p2=3 ，解得 p=2 ，
所以抛物线 E 的标准方程为: y2=4x . 4 分
(3)设直线 l 的方程为: x−my+4 ，
将其与抛物线方程 y2=4x 联立得: y2 siny 16=0 .
韦达定理为 y1+y2=4my1y2=−16 ， .6 分
由题意得 cs∠AFT=cs∠BFT . 即 FA⋅FTFAFT=FB⋅FTFBFT . .8 分
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 PA=x1,1,y1,PB=x2,1,y2,PP′=1,2 ,
所以 x1−1,y1⋅1,2x1+1=x2−1,y2⋅1,2x2+1 ,
x1−x2+y1−y2+x2y1−x1y2=0 , 10 分
将 x1=y124,x2=y224 代入得 y124+y224 y1 y2=1y22y14y12y24=0 ,易知 y1≠y2 ,
所以 y1+y24+1−y1y24=0 , 12 分
韦达定理代入. m=−5 .
所以直线 l 的方程为 x+5y−4=0 . 15 分
18.
(1)设事件 A ，为“ i 号盒子拿出的球是红球”， B ，为“ i 号盒子拿出的球是白球”。
若 1 号盒子拿出的是红球. 此时 2 号盒子 2 个红球、 1 个白球,此时拿出白球的概率为 13 ; 若 1 号盒子拿出的是白球,此时 2 号盒子 1 个红球、 2 个白球,此时拿出白球的概率为 23 ,
则 PB2=PA1⋅PB2∣A1+PB1⋅PB2∣B1=23×13+13×23=49 ; .4 分
(2)由题意得，随机变量 X 的取值为 0,1,2, 5 分
PX=0=PB1⋅PA2∣B1=13×13=19. 6 分
PX=1=PA1⋅PA2∣A1+PB1⋅PB2∣B1=23×23+13×23=23 , 7 分
PX=2=PA1⋅PB2∣A1=23×13=29, .8 分
所以 X 的分布列如表: 9 分
所以 EX=0×1−1×23+2×29=109 : 10 分
(3)由题意， PBn=PAn−1⋅PBn∣An−1+PBn−1⋅PBnBn−1=13PAn−1+23PBn−1 ，
又 PAn−1+PBn−1=1 ,所以 PBn=131−PBn−1+23PBn−1 , 12 分
即 PBn=13PBn−1+13 . 所以 PBn−12=13PBn−1−12 ,
又 PB1−12=13−12=−16 ,所以 PBn−12 是首项为 −16 ,公比为 13 的等比数列,
所以 PBn=12−16⋅13n−1=12−12⋅13n , 15 分
若最终 ​n 号盒了剩余 2 个红球,则需 n−1 号盒子拿出红球,且 n 只盒了拿出白球弃置,
即 p=PAn−1⋅PBn∣An−1=16+12⋅13n . 17 分
19.
(1) gx=2lnx+a,g′x=2x ，设切点为 x0,2lnx0+a ，
则切线斜率为 2x0=2 ,即 x0=1 , 2 分
因为切点 1,a 在切线方程为 y=2x+2 上,所以 a=2×1+2 ; 故 a=4 . .4 分
(2)令 hx=f2x−gx=e2x−2lnx−4,x>0 ，则 h′x=2e2x−1x ，
又因为 y=e2x , y=−1x 在 0,+∞ 内单调递增,可知 h′x 在 0,−∞ 内单调递增, 5 分
当 x 趋近于 0 时. h′x 趋近于 −∞ ; 且 h′12−2e−2>0 ;
可知 h′x 在 0,+∞ 内有且仅有 1 个零点 x1∈0,12 ,当 x>x1 时, h′x>0 ; 当 0an⇔anbn>λλ+1anbn